第11讲 指数与对数的运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第11讲：指数与对数的运算

一、课程标准

1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；

3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用

二、基础知识回顾

1. 有关指数幂的概念

(1)n次方根

正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．

(2)方根的性质

①当n为奇数时，＝a；

②当n为偶数时，＝＝

(3)分数指数幂的意义

①＝(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；

②＝＝(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)．

2. 有理数指数幂的运算性质

设s，t∈Q，a>0，b>0，则： (1)asat＝as＋t；

(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt．

3. 对数的相关概念

(1)对数的定义：如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作logaN＝b．

(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN；②自然对数：以e为底N的对数，简记为：lnN．

(3)指数式与对数式的相互转化：ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．

4. 对数的基本性质

设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)logaa＝1；(2)loga1＝0；

(3)logaaN＝N；(4)alogaN＝N．

5. 对数运算的法则

设M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则：

(1)loga(MN)＝ logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝ nlogaM．

6. 对数的换底公式

设N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则logbN＝.

三、自主热身、归纳总结

1、化简4a·b－÷的结果为(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C．－  D．－6ab

2、(log29)(log32)＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

3、 若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于（    ）

A. 1      B.  0或    C. 　  D. log23

4、．(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　)

A．a2＋a－2＝7  B．a3＋a－3＝18

C．a＋a－＝±  D．a＋＝2

5、log225·log3(2)·log59＝________．

6、 已知2lg＝lgx＋lgy，则的值为              ．

7、计算：log5[4log210－(3)－7log72]＝________．

8、化简 [(0.064)－2.5]－－π0；

四、例题选讲

考点一 指数幂的运算

例1　化简下列各式(其中各字母均为正数)．

(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0

(2)(a>0，b>0)

(3) －π0；

(4)

变式1、．计算下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

变式2、已知＝3，求的值．

方法总结(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

考点二 对数的运算

例2　化简下列各式：

(1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；

(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；

(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)；

（4）2log32－log3＋log38－3log55；

变式1、(1)2log32－log3＋log38－；

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

变式2、(1)①若a＝log43，则2a＋2－a＝       ；

②化简2(lg)2＋lg·lg5＋＝__    _．

方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

考点三  指数是与对数式的综合

例3　(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ；

(2)若60a＝3，60b＝5，求的值．

变式1、设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________.

方法总结：　这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：

1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．

2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．

五、优化提升与真题演练

1、设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)

A．a　　　　　　　　　 B．a

C．a  D．a

2、已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（　　）

A． B． C． D．

3、(多选)已知实数a，b满足等式18a＝19b，下列选项有可能成立的是(　　)

A．0＜b＜a  B．a＜b＜0

C．0＜a＜b  D．b＜a＜0

4、化简：(a>0，b>0)＝________．

5、计算 ＋ ＝________．

6、.＝________．

7、若2x＝3y＝5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为        ．

8、 化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－－π0；

(2)a·b－2·÷.