第10讲 函数的图像-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第10讲：函数的图像
一、 课程标准
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.

二、 基础知识回顾

1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[常用结论与微点提醒]
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.


三、 自主热身、归纳总结
1、函数的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
当时，，∴，则B，C不正确；
当时，，∴，则D不正确；
综上可得选项为A.
2、.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)


【答案】　C
【解析】　由函数f(x)的图象知a>1，－1 ∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b>0.
因此选项C满足要求.
3、已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图像大致为(A )
A　　BC　　D
【答案】A

【解析】　先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图像，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图像．故选A.
4、定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是函数的“原形函数”．下列四个选项中，函数是函数的“原形函数”的是　　
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】ABD
【解析】由，知，向右移动一个单位可得到，故选项正确；
由知，向右移动个单位可得到，故选项正确；
由知，项下移动个单位可得到，故选项不正确；
由知，向右移动个单位可得到，故选项正确；
故选：．

5、.已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0 【答案】9
【解析】如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0
若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
从图象分析应有f(m2)＝2，
∴log3m2＝－2，∴m2＝.
从而m＝，n＝3，故＝9.
6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________．
【答案】0　(－∞，0)∪(e，＋∞)
【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．

7、已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．
【解析】 (1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.
(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.
综上，f(x)min＝


四、 例题选讲
考点一 作函数的图像

例1、作出下列函数的图象：
(1)(1)y＝2－2x；
(2)y＝log [3(x＋2)]；
(3)y＝|log(－x)|.
　思路点拨：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象．
　解析：(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2－2x的图象．如图1；
(2)因为y＝log[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
所以可以先将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，可得y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的图象，得y＝－log3(x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log3(x＋2)－1的图象，
即为y＝log[3(x＋2)]的图象．如图2；
(3)作y＝logx的图象关于y轴对称的图象，得y＝log(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到
y＝|log(－x)|的图象．如图3.

变式、作出下列函数的图像：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)y＝；　　 (2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；　　　 (4)y＝x2－2|x|－1.
【解】　(1)作出y＝的图像，保留y＝的图像中x≥0的部分，加上y＝的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图像，如图①实线部分．
①②

(2)将函数y＝log2x的图像向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即得函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，如图④.

③　　④


方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数解析式．
(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．
(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．

考点二 图像的辨识
例2、函数y＝2x－x2的图像大致是____．
①　　②③　　④

(2)已知函数y＝f(1－x)的图像如图所示，则y＝|f(x＋2)|的图像是( )
第(2)题图　　A　B　　C　　D

【答案】(1)① (2)A
【解析】　(1)当x<0时，函数f(x)＝2x－x2单调递增，故排除③④，又f(2)＝f(4)＝0，结合个选项中的图像，知应填①.
(2)把函数y＝f(1－x)的图像向左平移1个单位得y＝f(－x)的图像；作出f(－x)关于y轴对称的函数图像得y＝f(x)的图像；将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图像；将y＝f(x＋2)的图像在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到y＝|f(x＋2)|的图像．故选A.

变式1、关于函数下列描述正确的有　　
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示：

由图可得：
函数在区间上单调递增，正确；
函数的图象关于直线对称，正确；
若，但，则，错误；
函数有且仅有两个零点，正确．
故选：．
变式2、函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】f（﹣x）＝﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，
当x＞0时，f（x）＞0，排除D，
当x→+∞，f（x）→+0，排除C，
故选：A．

变式3、(2020·深圳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

【答案】B
【解析】(1)由得－1 所以f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
又f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；
当0 当x>0且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.

变式4、(2020·武汉调研)函数f(x)＝的大致图象为(　　)

(2)(2019·成都诊断)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是(　　)

【答案】(1)B　(2)A
【解析】(1)易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合.
(2)函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.又f(π)＝|π|sin π＝0，排除D，只有选项A适合.
考点三 函数图像的应用
例3、已知函数，若，且，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由函数，作出其函数图象：

由图可知，，；
当时，，有；
所以；
由有，即；
所以；
则；
故选：．
变式1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】 　
【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y＝0得f(x)＝m.令y＝f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈.

变式2、(1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为(　　)
A.[－3，－1) B.(－3，－1)
C.[－2，－1) D.(－2，－1)
(2)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为__________.

【答案】　(1)C　(2)∪
【解析】　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示.

由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，
故解得－2≤m<－1.
(2)当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1 所以在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.

变式3、已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)作出函数f(x)的图像并判断其零点个数；
(2)根据图像指出f(x)的单调递减区间；　
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．
【解】　(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.于是
f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图像如图，由图像知f(x)有两个零点．

(2)从图像上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]．
(3)由图像可知若y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则0
【点评】　函数的图像在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等．
(1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应法则．
(2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标；不等式f(x)

五、优化提升与真题演练

1、已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足g（x）＝f（|x﹣1|），则函数y＝g（x）的图象关于（　　）
A．直线x＝﹣1对称 B．直线x＝1对称
C．原点对称 D．y轴对称
【答案】B
【解析】由y＝f（|x|）关于y轴对称，由y＝f（x）向右平移一个单位可得y＝f（x﹣1），即函数y＝g（x）的图象关于x＝1对称，
故选：B．
2、(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)

【答案】B
【解析】(1)∵ y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，
∴ f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴ f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除选项A、D.故选B.
3、[2018·全国Ⅱ高考]函数f(x)＝的图像大致为(B )
A　　BC　　D


【答案】B
【解析】　(1)∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图像关于原点对称，排除A选项．当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．又e>2，∴＜，
∴e－>1，排除C选项．故选B.
4、函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于函数，可得为奇函数，故排除C、D，
当x＝1时，f（1），排除A，
故选：B．

5、(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是(　　)
A．f2(x)与f4(x)　　　　　 B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
【答案】AC
【解析】f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B、D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)＝log2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到y＝log2x的图象再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项C是“同形”函数，故选A、C.
6、(多选)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)不能满足条件的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝ex－1－e1－x
C．f(x)＝x＋
D．f(x)＝log2(x＋1)＋1
【答案】ACD
【解析】由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，②f(1＋x)＝－f(1－x)．对于选项A、C、D，f(1)均不为0，不满足条件；对于选项B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x)．故选A、C、D.
7、函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
【答案】2
【解析】f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝
sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：

由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
8、(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．

【答案】 ∪(－e，－1)　
【解析】 作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像，考察两函数图像的公共点，两函数图像的公共点的个数等价于方程f(x)＝kx＋2解的个数．
作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y＝f(x)(x>1)相切，设切点(x0，lnx0)，则切线斜率为k＝，又k＝，则＝，解得x0＝e3，此时k＝，当k<0时，当y＝kx＋2与曲线y＝相切于点(0，2)时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k＝－1，当－1
9、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】. (1，＋∞)　
【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x)max＝2m－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.