第21讲 弧度制及任意角的三角函数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第21讲：弧度制及任意角的三角函数
一、 课程标准
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

二、 基础知识回顾
知识梳理
1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝____，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S扇形＝__lr__＝__|α|r2__．
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝．
(2)特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
α弧
度数
_0_
__
__
__
__
_π_
__
sinα
_0_
__
__
__
_1_
_0_
_－1_
cosα
_1_
__
__
__
_0_
_－1_
_0_
tanα
_0_
__
_1_
__

_0_


（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．


三、 自主热身、归纳总结
1、已知sin2θ＜0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，sinθ)在( )
A. 第一象限　 B. 第二象限　
C. 第三象限　 D. 第四象限
【答案】B
【解析】　由|cosθ|＝－cosθ可知cosθ＜0，由sin2θ＝2sinθcosθ＜0可知sinθ＞0，∴tanθ＜0.∴点P(tanθ，sinθ)在第二象限．故选B.
2、已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于( )
A. sin2　 B. －sin2　 C. cos2　 D. －cos2
【答案】D
【解析】∵r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝＝－cos2.故选D.
3、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B．
C．3 D.
【答案】D
【解析】　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，

作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，
∴l＝r，
由弧长公式得α＝＝＝.
4、(多选)下列与角的终边不相同的角是(　　)
A. B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【答案】ABD　
【解析】与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，其余三个角的终边与角的终边不同．
5、已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝ ________，圆心角θ＝________.
【答案】2　
【解析】因为扇形的弧长为，所以面积＝××r，解得r＝2.由扇形的弧长为＝rθ＝2θ，解得θ＝.
6、(一题两空)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________.
【答案】　－
【解析】由题知sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝，∴sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝.∴sin αcos α＝ab＝，∴cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.

四、 例题选讲
考点一 角的表示及象限角
例1（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

（2）若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】（1）B　（2）C.
【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
（2）　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ