第24讲 三角恒等变换（2）-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第24讲：三角恒等变换（2）

一、课程标准

1、能熟练运用两角和与差以及二倍角进行化简求值

2、能熟练解决变角问题

3、能熟练的运用公式进行求角

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．

2. 要注意对“1”的代换：

如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：

如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.

4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．

5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.

(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．

(3)y＝(或y＝)

可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．

6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．

(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．

三、自主热身、归纳总结

1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )

A. －　  B. 　  C. －　  D.

2、若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.或  D.或

3、已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为____．

4、已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.

5、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.

四、例题选讲

考点一、变角的运用

例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，，则的值为______．

变式1、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知sinα＝3sin，则tan＝________.

变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.

(1) 求tan的值；

(2) 求cos的值．

方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。

考点二、求角

例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈.

(1) 求sin的值；

(2) 若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值．

变式1、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点．

(1)求的值；

(2)若，且，求角的值．

变式3、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.

(1) 求cos(α－β)的值；

(2) 求α＋β的大小．

变式4、 已知cosα＝，cos(α－β)＝(0＜β＜α＜)，求(1)tan2α；(2)求β的值．

方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。

考点三、公式的综合运用

例3、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数．

(1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；

(2)若，求函数的单调增区间．

变式1、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数．若，求函数的值域．

变式2、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．

变式3、如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(，)，将角α的终边按逆时针旋转，交单位圆于点B. 记A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)若x1＝，求x2；

(2)分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D. 记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.若S1＝S2.求角α的值．

五、优化提升与真题演练

1、（2020春•鼓楼区校级月考）在中，若，则的形状　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

2、(多选题)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)

A.f(x)在区间上单调递增

B.f(x)图象的一个对称中心是

C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－

D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称

3、(2017苏州期末） 若2tanα＝3tan，则tan＝________.

4、（2020江苏淮安四校期中考试）已知，，则______．

5、（2019年高考江苏卷）已知，则的值是     .

6、（2019年高考浙江卷）设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

7、（2017年高考浙江卷）已知函数．

（1）求的值．

（2）求的最小正周期及单调递增区间．

8、（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（1）求sin（α+π）的值；

（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．