第33讲 复数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
展开第33讲：复数
一、课程标准
1、了解复数的概念
2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾
二、知识梳理
1. 复数
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系是：NZQRC.
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．
(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．
2. 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
3. 复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4. 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
三、自主热身、归纳总结
1、(2017无锡期末） 已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为________．
2、(2017常州期末） 已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.
3、(2017苏州期末）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为________．
4、(2018苏州期末） 已知i为虚数单位，复数z＝－i的模为________．
5、(2018常州期末）若复数z满足z·2i＝|z|2＋1(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．
6、(2017南京学情调研）设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
7、(2017南京、盐城二模） 若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，是z的共轭复数，则z·＝________.
8、(2017泰州期末） 如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
四、例题选讲
考点一、复数的有关概念
例1、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ．
变式1、(2019南京三模）若复数z满足z(1＋i)＝1，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在第 ▲ 象限．
变式2、(2019南京、盐城二模） 若复数z满足＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________．
变式3、已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考点二、复数的运算
例2、、(2019苏锡常镇调研）已知复数，其中是虚数单位，则＝ ．
变式1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
变式2、(2019泰州期末）复数z满足zi＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
变式3、(2019扬州期末） 若i是虚数单位，且复数z满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________．
变式4、(1)复数(i为虚数单位)的共轭复数是
(2)()6＋＝_ ___．
(3)若复数z满足2z＋z－＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝____．
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考点三、复数的几何意义
例1、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为____
变式1、如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，
－2＋4i，试求：
①，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③B点对应的复数．
变式2、（1）设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（2）若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
方法总结：准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
五、优化提升与真题演练
1、【2020年北京卷】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
2、【2020年江苏卷】已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
3、【2020年全国1卷】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
4、【2020年全国3卷】复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
5、【2020年浙江卷】.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A. 1 B. –1 C. 2 D. –2
6、【2020年山东卷】（ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
7、【2019年高考北京卷理数】已知复数，则
A． B．
C． D．
8、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B．
C． D．
9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若，则z=
A． B．
C． D．
11、【2018年高考浙江卷】复数(i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i
C．−1+i D．−1−i
