第25讲 三角函数的图像与性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第25讲：三角函数的图像与性质
一、 课程标准
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质
二、 基础知识回顾
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定
义
域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)


三、 自主热身、归纳总结
1、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
故函数的定义域为 ，选D。
2、在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A. ①②③　 B. ①③④　
C. ②④　 D. ①③
【答案】A
【解析】　①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝.故选A.
3、函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A. －1　 B. －　 C. 　 D. 0
【答案】B
【解析】　由已知x∈，得2x－∈，∴sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.

4、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
【答案】B　
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
5、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝。
6、下列关于函数的说法正确的是　　
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
【答案】．
【解析】令，解得，，显然满足上述关系式，故正确；易知该函数的最小正周期为，故正确；
令，解得，，任取值不能得到，故错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．
7、函数y＝cos的单调递减区间为___．
【答案】(k∈Z)_
【解析】　令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．

8、函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
【答案】5　＋2kπ(k∈Z)
【解析】函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

四、 例题选讲

考点一、三角函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为
(2)函数y＝＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
【答案】（1）．（2）(k∈Z)

【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图像，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx的图像，

如图所示．在内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域为.

(2)由题意得根据图像解得＋2kπ≤x＜＋2kπ，
即定义域为(k∈Z)．
变式1、 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【答案】（(1)(2)
【解析】　(1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ 所以函数的定义域为.
变式2、函数y＝的定义域为________．
【答案】
【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.

法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考点二、三角函数的值域(最值)
例2、（1）[2017·全国Ⅱ高考]函数f＝sin2x＋cosx－(x∈)的最大值是____．
(2)函数y＝的值域为_ __．
(3)函数f(x)＝cos2x＋6cos(－x)的最大值为____．
【答案】（1）1；（2）[，＋∞)．（3）5
【解析】（1）f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋1，由自变量的范围：x∈可得：cosx∈[0，1]，当cosx＝时，函数f(x)取得最大值1.
(2)∵y＝＝1－，∴当sinx＝－1时，
ymin＝1＋＝，∴值域为[，＋∞)．
(3) ∵f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，
∴当sinx＝1时函数的最大值为5.
变式1、(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(2)设x∈，则函数y＝的最大值为________．　
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为___________________________________．
【答案】　(1)　(2)　(3)
【解析】　(1)当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.
(2)因为x∈，所以tan x＞0，y＝＝＝＝≤＝，
当且仅当3tan x＝时等号成立，故最大值为.
(3)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
变式2、（南京期末）若函数在区间上有2个零点，则的可能取值为　
A． B．0 C．3 D．4
【答案】．
【解析】若函数在区间上有2个零点，则直线 和函数的图象在区间上有2个交点．
在区间上，，，，．
再根据不能取最值，且，，故有，或，或，

方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
考点三、三角函数的单调性
例3若f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)在区间上是增函数，求ω的取值范围．

【解析】　(方法1)由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间是(k∈Z)．∵f(x)在上是增函数，
∴⊆.∴－≥－
且≤，∴ω∈.
(方法2)∵x∈，ω＞0.∴ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
∴⊆，
则，又ω＞0，得0＜ω≤.
(方法3)∵f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即
得T≥，即≥，又ω＞0，得0＜ω≤.
变式1、(1)函数y＝sin的单调递减区间为________________．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．
【答案】　(1)，k∈Z
(2)，k∈Z　，k∈Z
【解析】(1)函数y＝sin＝－sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．

观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
变式2、已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】由0得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，
得k＝0，所以ω∈.
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、 (1)函数f(x)＝|tan x|的最小正周期是______.
(2)函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期是________.
【答案】(1)π　(2)
【解析】(1)y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期为π.
(2)函数f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 3x，最小正周期T＝.
变式1、(1)若函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)为偶函数，则φ的值为____．
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图像的一个对称中心是，则ω的最小值为____．
【答案】（1）.（2）2
【解析】　(1)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝.
(2)由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.
变式2、下列函数，最小正周期为的偶函数有　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】：函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，故排除；
函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故满足条件；
函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故不满足条件，故排除；
函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故满足条件，
变式3、（1）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2020·武汉调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
【答案】(1)A　(2)A
【解析】(1)由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，
得ω＝.
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心坐标为.
(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，
即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．


五、优化提升与真题演练
1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．

图1

图2

图3

4、【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；
因为时，，所以排除选项C，
故选D.
5、 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
【答案】B
【解析】∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，
∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4，故选B。
6、【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在(，)单调递减
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；
函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；
，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；
当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.
故选D.
7、关于的函数有以下四个选项，错误的有　　
A．对任意的，都是非奇非偶函数
B．存在，使是偶函数
C．存在，使是奇函数
D．对任意的，都不是偶函数．
【答案】．
【解析】时， ，是奇函数，错误，正确；
时， 是偶函数，正确，显然错误；
8．最小正周期为的函数有　　
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由于函数，它的最小正周期为，故排除；
由于函数，它的最小正周期为，故满足条件；
由于函数，它的最小正周期为，故满足条件；
由于函数的最小正周期为，故排除，
故选：．
9、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数，周期为.
10、【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
图3