第35讲 等比数列-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第35讲：等比数列

一、课程标准

1.通过实例，理解等比数列的概念．

2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式．

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

4.体会等比数列与指数函数的关系.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母__q__表示．

2. 等比数列的通项公式

一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1，这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．第二通项公式为：an＝amqn－m．

3. 等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝(q≠1)或Sn＝(q≠1)．

注意：(1)当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，Sn＝na1；

(2)有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论．

4. 等比数列的性质

(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2＝ab.

(2)等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2p时，am·an＝a.

(3)设Sm是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m满足关系式(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)．

(4)等比数列的单调性，若首项a1＞0，公比q>1或首项a1＜0，公比0<q<1，则数列为递增数列；若首项a1＞0，公比0<q<1或首项a1＜0，公比q＞1，则数列为递减数列；若公比q＝1，则数列为常数列；公比q＜0，则数列为摆动数列．

(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、、{a}、、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．

三、自主热身、归纳总结

1、 已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则(   )

A. a1d>0，dS4>0        B. a1d<0，dS4<0

C. a1d>0，dS4<0        D. a1d<0，dS4>0

2、若等比数列满足anan＋1＝16n，则公比为(    )

A. 2       B. 4       C. 8       D. 16

3、[2017·新课标Ⅱ高考]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(     )

A. 1盏  B. 3盏  C. 5盏  D. 9盏

4、已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.

5、已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝________.

四、例题选讲

考点一 等比数列的基本运算

例1、（1）(2019苏锡常镇调研（二））已知等比数列的前n项和为，若，则＝       ．

（2）(2019苏北四市、苏中三市三调）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为  ▲  ．

（3）、(2019南京、盐城一模）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．

变式1、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________

变式2、[2018·苏州模拟]已知等比数列的前n项和为Sn，且＝－，a4－a2＝－，则a3的值为___．

方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝。

考点二  等比数列的性质

例2、(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)

A．12　　　　　　　　　 B．10

C．8                  D．2＋log35

(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A.  B．－

C.  D.

(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

变式1、(1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)

A．－  B.－

C.  D．－或

(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.

变式2、　(1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝____；

(2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝___．

方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用

考点三  等比数列的判定与证明

例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.

(1) 求a1，a2的值；

(2) 证明：数列{an}是等比数列；

变式1、（江苏启东中学2019届高三模拟）已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.

(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

变式2、已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列．

方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解．

五、优化提升与真题演练

1、【2020年全国2卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块

2、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则a3 =（  ）

A．16  B．8 

C．4  D．2

3、【2020年江苏卷】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

4、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________。

5、【2018·全国高考】已知数列满足，，设．

（1）求；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求的通项公式．

6、【2018·全国卷Ⅲ】等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

7、【2020年全国1卷】.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

8、(2017苏州暑假测试）在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1.

(1) 求证：数列{an＋n}为等比数列；

(2) 记bn＝an＋(1－λ)n，且数列{bn}的前n项和为Tn，若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围．