第56讲 排列与组合-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第56讲 排列与组合

一、课程标准

1、通过实例，理解排列、组合的概念．

2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 分类加法计数原理

完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．

2. 分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．

3. 排列与排列数

(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．

(3)排列数公式：

A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝____(n，m∈N*，并且m≤n)

A＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，规定0！＝__1__．

4. 组合与组合数

(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．

(3)组合数公式：

C＝＝＝____(n，m∈N*，并且m≤n)．

(4)组合数的性质：

性质1：C＝__C__．

性质2：C＝__C＋C__．

性质3：mC＝__n·C__．

三、自主热身、归纳总结

1、某校“数学俱乐部”有高一学生7人，高二学生10人，高三学生8人，若从每一个年级各选1名担任负责人，则有________种不同的选法．(     )

A. 25　  B. 280　  C. 560　  D. 580

2、从5名男生和4名女生种选出4人参加辩论赛，如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有________种不同选法．(      )

A. 20　  B. 60　  C. 78　  D. 91

3、 已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（     ）

    A.  表示不同的正数的个数是6              B.  表示不同的比1小的数的个数是6

     C.（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6    D.（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6 

4、(1)7C－4C＝____；

(2)A＝__ __．

5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必选科目.从物理、化学、生物、历史、地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有　　　　种(用数字作答). 

四、例题选讲

考点一 两个计数原理的应用

例1、(1)已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取．如果三位数的中数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？

(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有多少种？

变式1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为(　　)

A.64        B.80      C.96        D.120

变式2、满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____.

方法总结：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：

(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3)弄清分步、分类的标准是什么．

(4)利用两个计数原理求解．

考点二 排列的应用

例2　有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？

(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；

(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；

(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；

(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻．

变式1、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻．

变式2、（1）高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)

A．1 800　　　　　　　　 B．3 600

C．4 320  D．5 040

（2）将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)

A．1 108种  B．1 008种

C．960种  D．504种

方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．

考点三　组合的应用

例3、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

变式1、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．

变式2、（1）从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)

A．72　　　　　　　　　 B．70

C．66  D．64

（2）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)

（3）(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．

方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

考点四 排列与组合问题的综合应用

例4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．

(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．

变式：（1）某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)

A.36种              B.24种            C.22种           D.20种

（2）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)

方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．

(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．

五、优化提升与真题演练

1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（   ）

A．120种  B．90种

C．60种  D．30种

2、【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）

4、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

5、【湖北省孝感市八校2017-2018学年高二上学期期末考试】3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？

（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

6、平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．

（1）过每两点连线，可得几条直线？　　　

（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；

（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？

（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？