第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系

一、课程标准

1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系

2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长

3. 求圆锥曲线的中点弦

二、基础知识回顾

1、直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2、弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝ |x1－x2|＝ ·

或|AB|＝ ·|y1－y2|＝ ·.

3、中点弦所在直线的斜率

圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．

三、自主热身、归纳总结

1、直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A. 相交  B. 相切

C. 相离  D. 不确定

2、 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)

A. 1条  B. 2条

C. 3条  D. 4条

3、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(    )

A. 1条  B. 2条  C. 3条  D. 4条

4、过点A(1，0)作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M，N两点，则|MN|＝____．

5、设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为____．

四、例题选讲

考点一  直线与圆锥曲线的位置关系

例1　已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：

(1) 有两个不重合的公共点；

(2) 有且只有一个公共点；

(3) 没有公共点．

变式1、若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，求实数k的取值集合．

变式2　若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________．

变式3、已知椭圆＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上点到直线l距离的最大值为________，最小值为________．

变式4、（安徽蚌埠二中2019届模拟）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况．

(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

考点二  圆锥曲线的弦长问题

例2、已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．

变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，AB＝4.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若AB＋CD＝，求直线AB的方程．

变式2、已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1) 若AF＋BF＝4，求直线l的方程；

(2) 若＝3，求AB的长．

方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．

(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．

(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

考点三  求圆锥曲线的中点弦

例3、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.

变式1、 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为                      

变式2、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在椭圆E上，且△ABC面积的最大值为2.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 设F为椭圆E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过点F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.

方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．

(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数

考点四   圆锥曲线中的最值问题

例4、已知动圆过定点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m,0)(m＞0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．

(1)求轨迹H的方程；

(2)若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值．

变式1、已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m，0)(m>0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．

(1) 求轨迹H的方程；

(2) 若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值；

(3) 若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．

变式2、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋＝上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．

方法总结：1．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．

2．最值问题的两类解法技巧

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

考点五　圆锥曲线中的定点、定值问题

例5　已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．

变式1、如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

变式2、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

方法总结：1．定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．

2．圆锥曲线中定点、定值问题的解法

(1)定点问题的常见解法

①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；

②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．

(2)定值问题的常见解法

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

五、优化提升与真题演练

1、（2018年高考浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.

3、（2020年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．

4、（2020年全国1卷）.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

5、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.