第38讲 数列的综合运用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第38讲：数列的综合运用
一、 课程标准
1、理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用。
2、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
3、会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。
二、 基础知识回顾

1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
2．解决数列实际应用题的3个关键点
(1)根据题意，正确确定数列模型；
(2)利用数列知识准确求解模型；
三、 自主热身、归纳总结
1. 设等差数列的前n项和为Sn，点(a1 010，a1 012)在直线x＋y－2＝0上，则S2 021等于(B )
A. 4 042 B. 2 021 C. 1 010 D. 1 012
【答案】B
【解析】　由题意得a1 010＋a1 012＝2，由等差数列求和公式，得S2 021＝＝2 021.故选B.
2、(2019·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重(　　)
A．6斤 B.7斤
C．9斤 D．15斤
【答案】D　
【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}，
则有a1＝4，a5＝2，
所以a1＋a5＝6，
数列{an}的前5项和为S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.
3、（2019·南充高三第二次诊断）已知等比例{an}中的各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝( )
A. 1＋ B. 1－
C. 3＋2 D. 3－2
【答案】C
【解析】　记等比数列{an}的公比为q，其中q>0，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q.
∵a1≠0，∴有q2－2q－1＝0，解得q＝1±，又q>0，∴q＝1＋.∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.故选C.
4、(2019·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和a8是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S8＝(　　)
A．－38 B．38
C．－17 D．17
【答案】A　
【解析】因为f(x)＝ln x＋x2－8x，
所以f′(x)＝＋x－8＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.
又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d>0，
所以a6＝，a8＝，所以解得
所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A.
5、已知x>0，y>0，x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的最小值是____．
【答案】4
【解析】　∵a1＋a2＝x＋y，b1b2＝xy，∴＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号．
6、(2019·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________.
【答案】：
【解析】由Hn＝＝2n，
得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②
由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，所以Sn＝＝.
四、 例题选讲
考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、(1)(2020·长沙模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1,2，…，10)，且a1