2021届河北省高三上学期12月月考 数学试题（Word版，含答案）

2020~2021学年河北省高三上学期12月份考试

数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知复数，则z在复平面内对应的点所在象限是（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．双曲线的渐近线方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知向量，若，则（    ）

A．8    B．12    C．    D．

6．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术—“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则（    ）

A．    B．    C．4    D．5

8．已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为且对任意实数x都有，则不等式的解集为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知，则的值可以为（    ）

A．9    B．10    C．11    D．12

10．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）

A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

C．2018年上半年的票房收入增速最大

D．2020年上半年的票房收入增速最小

11．已知函数，若的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ）

A．图象的对称中心为

B．函数在上有且只有两个零点

C．的单调递增区间为

D．将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象

12．如图，在正方体中，点E在棱上，且是线段上一动点，则下列结论正确的有（    ）

A．    B．存在一点F使得

C．三棱锥的体积与点F的位置无关

D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知函数则_________．

14．的展开式中项的系数是_________．

15．已知正三棱柱的侧面积为，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为________．

16．已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是_________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在递增的等比数列中，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）

在①且，②，③的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答．

问题：在中，内角所对的边分别为，且_________．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

19．（12分）

为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系，农业农村部随机对160个城镇当月的猪肉价格（元/千克）与居民人均收入（元/月）进行了调研，得到如下表格：

（1）估计全国各地猪肉价格在（元/千克）内的概率；

（2）估计这160个城镇的居民人均收入（元/月）的中位数（计算结果保留整数）；

（3）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

附：，其中．

20.（12分）

菱形的对角线与交于点，将沿折到的位置，使得，如图所示．

（1）证明：．

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）

已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知，经过点M的直线与椭圆C交于两点，若原点到直线的距离为1，且，求直线的方程．

22．（12分）

已知函数．

（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求的取值范围；

（2）证明：．

2020~2021学年河北省高三上学期12月份考试

数学参考答案

1．D  因为，所以．

2．A  复数在复平面内对应的点为，在第一象限．

3．A  D中函数非奇非偶，D中函数是偶函数，C中函数是奇函数，但不在定义域内单调递减，只有A中函数符合题意．，故该函数为奇函数．又恒成立，故该函数在定义域内单调递减．

4．A  由题意可得，则该双曲线的渐近线方程是．

5．C  因为，所以，所以，故．

6．A  由题知六指为12厘米，则，则．

7．A  如图，直线为抛物线M的准线，．设，则，解得，故．

8．B  设则．因为，所以，即，故在R上单调递增．因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，则．

9．CD  因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故

10．ABC  由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故A错误；自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有3年，故B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．

11．CD  ．

因为，所以，所以．

令，得则，

则图象的对称中心为，故A错误．

由，可得，

则或，即或．

所以函数在上有三个零点，故B错误．

令，得，

所以的单调递增区间为，故C正确．

将的图象向左平移个单位长度后，得到曲线

，故D正确．

12．ABC  如图，连接．易证平面，则，故A正确．在上取一点H，使得，连接，易证四边形为平行四边形，则．若，易证四边形为平行四边形，则，从而，故四边形为平行四边形，于是，故B正确．设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，则，即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，．设平面的法向量，则令，得，从而，即直线与平面所成角的正弦值为．因为，所以，所以，故D错误．

13．1  ．

14．  表示的是6个相乘，要得到，则其中有1个因式取，有3个因式取，其余2个因式都取，所以展开式中项的系数是．

15．  设正三棱柱的底面边长为，高为h，球的半径为R，由题意知，即，底面外接圆的半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为．

16．  ，即，解得或．由的图象（图略）可得解得，即m的取值范围是．

17．解：（1）由题意可得      2分

解得．      4分

故．      5分

（2）由（1）可得，则，      7分

故．      10分

18．解：（1）若选①，．      2分

，

．      5分

．      6分

若选②，，

．      3分

，故．      6分

若选③，      2分

，      4分

，故．      6分

（2）的面积为．      7分

．      8分

，即．         11分

故的周长为．      12分

19．解：（1）因为这160个城镇的猪肉价格在（元/千克）内的频率为，      1分

所以据此得全国各地猪肉价格在（元/千克）内的概率约为．      2分

（2）因为居民人均收入（元/月）在的频率为，      3分

居民人均收入（元/月）在的频率为，      4分

所以居民人均收入（元/月）的中位数在之间．      5分

因为，      6分

所以中位数约为4357．      7分

（3）列联表如下：

因为，      11分

所以有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．      12分

20.（1）证明：因为是菱形，所以，      1分

则．      2分

因为平面平面，且，所以平面．      3分

因为平面，所以．      4分

（2）解：取的中点O，连接，取的中点F，连接．

因为，所以．

因为，所以，所以．.      5分

由（1）可知平面，所以平面平面，则平面．      6分

故以O为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可得，则．      8分

设平面的法向量为，则令，得．9分

设平面的法向量为，

则令，得．      10分

设平面与平面所成的锐二面角为，

则．      12分

21．解：（1）设椭圆C的焦距为，则      3分

解得，      4分

∴椭圆C的标准方程为．      5分

（2）由题可知直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为，设，

∵原点到直线的距离为1，，即①．      6分

联立直线与椭圆方程可得，

则，则，

．      8分

，

，则②，      10分

联立①②，解得，即，      11分

∴所求直线方程为．      12分

22．（1）解：．      1分

因为的定义域为，所以．      2分

因为曲线存在一条切线与直线垂直，所以，      3分

解得或，则的取值范围为．      5分

（2）证明：．

当时，；当时，．      6分

所以．      7分

设函数．

当时，；当时，．      8分

所以．      9分

因为，所以．      10分

因为，所以．      11分

又，所以．      12分