【精品导学案】人教版 九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程导学案（含答案）

教学目标

1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．

2. 总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有 两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．

   3. 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学重点

二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学过程

一、导入新课

我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．

现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．

二、探究新知

问题1．如下图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系

h＝20t－5t2．

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．

分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．

解：（1）解方程

15＝20t－5t2，

t2－4t＋3＝0，

t1＝1，t2＝3．

    当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．

（2）解方程

20＝20t－5t2，

t2－4t＋4＝0，

t1＝t2＝2．

    当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．

（3）解方程

20.5＝20t－5t2，

t2－4t＋4.1＝0，

因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m．

（4）解方程

0＝20t－5t2，

t2－4t＝0，

t1＝0，t2＝4．

当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．

问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

（1）y＝x2＋x－2；    （2）y＝x2－6x＋9；    （3）y＝x2－x＋1．

教师引导学生画出函数的图象（下图），然后说说有什么特点和性质．

（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．

（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．

（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．

三、归纳总结

抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c＝0的解的关系?

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

    若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

四、巩固练习

例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．

解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为

x1≈－0.7，x2≈2.7．

    我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．

五、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（2）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

    若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

六、布置作业

习题22.2 第2、4题．