【精品导学案】人教版 九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(1)导学案(含答案)
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教学目标
1.通过对实际问题情景的分析,能够建立二次函数的数学模型,并利用二次函数的知识求解;能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
2.经历利用二次函数解决实际问题的过程,学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题,体验数学建模的思想.
3.通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣,并获得成功感.
教学重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题.
教学难点
读懂题意,找出相关量的数量关系,正确构建数学模型.[来源:学科网ZXXK]
教学过程
一、导入新课
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是________,对称轴是________;二次函数的图象是一条________,当a>0时,图象开口向________,当a<0时,图象开口向________.
(-,),x=-,抛物线,上,下.
2.在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如抛球、围墙、拱桥跨度等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义.从这节课开始,我们就共同解决这几个问题.
二、探究新知
课本探究3:
下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?
教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢?
因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式.
如上图,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×22,
a=-.
这条抛物线表示的二次函数为y=- x2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为,-,据此可求出这时的水面宽度是2.
答:水面下降1m,水面宽度增加2-4m.
课本问题1: 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2 (0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
教师引导学生学生根据画函数图象的步骤,画出函数h=30t-5t2 (0≤t≤6)的图象.
根据函数图象,观察出小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
学生结合图象回答:这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
教师引导学生求函数的顶点坐标,解决这个问题.
当t=-=-=3时,h有最大值==45.
答:小球运动的时间是3s时,小球最高.小球运动中的最大高度是45m.
归纳总结:对于二次函数y=ax2+bx+c,当a>0(a<0),抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值.
三、巩固练习[来源:Zxxk.Com]
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如左图所示.[来源:Z§xx§k.Com]
[来源:学*科*网]
根据设计图纸已知:如右图中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+.
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
教师让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+最大值,问题(2)就是求右图B点的横坐标.
学生独立解答,教师巡视指导,最后让一两位同学板演,教师讲评.
解:(1)∵y=﹣(x﹣1)2+,
∴当x=1时,y有最大值,
∴最大高度为m.
(2)令y=0,则﹣(x﹣1)2+=0,
∴x=1±,
又∵x>0,
∴x=1+,
∴B(1+,0),
∴OB=1+.
∴水池半径至少为(1+)m.
五、课堂小结
今天你学习了什么?有什么收获?
1.对于像抛球、拱桥跨度等实际问题情景的分析,建立二次函数的数学模型,利用二次函数的知识求解;能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
2.对于没有平面直角坐标系的实际问题,要先根据实际建立适当的平面直角坐标系,然后转化为二次函数的问题,利用二次函数的性质解决问题.
六、布置作业
习题22.3 第1、3题.
[来源:学科网]