高中数学苏教版 (2019)必修第二册13.2 基本图形位置关系精品精练

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第二册13.2 基本图形位置关系精品精练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列命题中正确的是( )

A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β

B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β

C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β

D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β

C [由面面平行的定义、性质得C正确．]

2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是( )

①有且只有一条直线与平面α的距离为d；

②所有直线与平面α的距离都等于d；

③有无数条直线与平面α的距离等于d；

④所有直线与平面α的距离都不等于d.

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

B [由两平行平面间的距离可知，②③正确．]

3．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为( )

A．2B．3

C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)

D [过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3eq \r(3).]

4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )

A．2B．3

C．4 D．5

C [取CD的中点H，连接EH，FH(略)．在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．]

5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq \f(DE,DF)＝eq \f(2,5)，则AC＝( )

A．12B．15

C．18 D．21

B [∵α∥β∥γ，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).

由eq \f(DE,DF)＝eq \f(2,5)，得eq \f(DE,EF)＝eq \f(2,3)，即eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，

而AB＝6，

∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.]

二、填空题

6．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α ，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD．

垂直 [l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD．]

7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.

M∈线段FH [∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.]

8．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．

eq \f(\r(3),2) [设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，

∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．

在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为eq \f(\r(3),2).]

三、解答题

9．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1)求证：平面MNG∥平面ACD；

(2)求S△MNG∶S△ACD．

[解] (1)证明：连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

∴eq \f(BM,MP)＝eq \f(BN,NF)＝eq \f(BG,GH)＝2.

连接PF，FH，PH，有MN∥PF.

又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD．

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD．又MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

(2)由(1)可知eq \f(MG,PH)＝eq \f(BG,BH)＝eq \f(2,3)，

∴MG＝eq \f(2,3)PH.

又PH＝eq \f(1,2)AD，∴MG＝eq \f(1,3)AD．

同理NG＝eq \f(1,3)AC，MN＝eq \f(1,3)CD．

∴△GNM∽△ACD，其相似比为1∶3.

∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.

10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？

[解] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.

假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，

所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

1．下列命题中是真命题为( )

A．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β平行

B．平行于同一条直线的两个平面平行

C．过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行

D．分别在两个平行平面内的直线一定平行

C [A、B中α与β还可能相交，D中的直线还能异面．]

2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且BP＝eq \f(2,3)BD1，给出下列四个命题，正确的为( )

①MN∥平面APC；

②C1Q∥平面APC；

③A，P，M三点共线；

④平面MNQ∥平面APC

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

B [E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故eq \f(D1G,BG)＝eq \f(D1F,BE)＝eq \f(1,2)，即BG＝eq \f(2,3)BD1.又BP＝eq \f(2,3)BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN⊂平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确．]

3．如图，在多面体ABCA1B1C1中，如果在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．

平行 [在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC与平面A1B1C1平行．]

4．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a，b，c之间的大小关系为________．

c≤b≤a [在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m即直线AD1，直线n即直线BD．显然点A，B之间的距离为a＝eq \r(3)，点A到直线n的距离为b＝eq \r(2)，直线m和n的距离为c＝1，则c

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图所示．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC．

[解] (1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD．所以AB1∥平面C1BD．

同理可证，B1D1∥平面C1BD．

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，

所以平面AB1D1∥平面C1BD．

(2)如图所示，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.

又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．

连接AC，交BD于点O；连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．

下面证明A1E＝EF＝FC．

因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，

平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，

在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，

所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；

同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，

所以A1E＝EF＝FC．

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