高中第9章 平面向量9.4 向量应用优秀当堂达标检测题

这是一份高中第9章 平面向量9.4 向量应用优秀当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题


1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为( )


A．等腰三角形 B．等边三角形


C．直角三角形D．等腰直角三角形


C [eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，1)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(－3，3)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0，


即eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AC,\s\up8(→))，故△ABC为直角三角形．]


2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )


A．10 m/sB．2eq \r(26) m/s


C．4eq \r(6) m/sD．12 m/s


B [由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．





所以小船在静水中的速度大小|v|＝eq \r(102＋22)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)(m/s)．]


3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是( )





A．5 NB．8 N


C．10 ND．12 N


C [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．]


4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(OA,\s\up8(→))，则点O是△ABC的( )


A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心


D [由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(OA,\s\up8(→))，可得eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝0，(eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→)))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，即eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，eq \(CA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，同理可证eq \(OC,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→)).所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]


5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为( )


A．(2，－1)B．(0，－1)


C．(2，3)D．(0，－1)或(2，3)


D [设B的坐标为(x，y)，


则eq \(CB,\s\up8(→))＝(x－1，y－1)，又eq \(AC,\s\up8(→))＝(2，－1)．


由题意知|eq \(CB,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|，且eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y－12＝5，,2x－1－y－1＝0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))]


二、填空题


6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，eq \(AO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))，且|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，则eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝________.


1 [设BC的中点是D，如图所示，则eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝2eq \(AD,\s\up8(→))，则eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AO,\s\up8(→))，


所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，





所以∠BAC＝90°.


又|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，


则|eq \(BA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝2，所以∠ABC＝60°，


所以eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 60°＝1×2×eq \f(1,2)＝1.]


7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．





eq \r(6) [∵eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，


∴eq \(AC,\s\up8(→))2＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))，①


又eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))，


∴eq \(BD,\s\up8(→))2＝eq \(AD,\s\up8(→))2＋eq \(AB,\s\up8(→))2－2eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))，②


∴①＋②得eq \(AC,\s\up8(→))2＋eq \(BD,\s\up8(→))2＝2(eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))2)．


又AD＝1，AB＝2，BD＝2，


∴AC＝eq \r(6).]


8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若| F |＝|G|，则θ的值为________．


120° [如图，| F 1|＝| F 2|＝eq \f(|G|,2cs \f(θ,2)).





∵| F 1|＝| F 2|＝|G|，∴2cs eq \f(θ,2)＝1，


∴θ＝120°.]


三、解答题


9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF ⊥BC，垂足分别为E，F ，连接DP，EF .求证：DP⊥EF .





[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0