2021年北京市西城区高三第一学期期末考试数学试题（Word版，含答案）

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
高三数学 2021.1

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知，，三点共线，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为
（A） （B） （C） （D）



（7）已知函数，则“”是“的值域为”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.
当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为
（A） （B） （C） （D）
（9）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.
现有三组函数：
①， ②， ③，
其中具有性质P的是
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
（10）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是
（A）点可以是棱的中点
（B）线段的最大值为
（C）点的轨迹是正方形
（D）点轨迹的长度为





第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）的展开式中的系数是_______.
（12）数列是公差为的等差数列，记的前项
和为，且成等比数列，则_______；
_______.
（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的
长度为_______.

（14）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，
且满足，则抛物线的方程为_______；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______.
（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：

月日
月日
月日
月日
月日
月日
供应量






销售量






记为月日冰激凌的供应量，为月日冰激凌的销售量，其中.用销售指数,来评价从月日开始连续天的冰激凌的销售情况. 当时，表示月日的日销售指数.
给出下列四个结论：
① 在月日至日这天中，最小，最大；
② 在月日至日这天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③ ；
④ 如果月日至日冰激凌每天的供应量和销售量与月日至日每天的供应量和
销售量对应相等，则对任意，都有.
其中所有正确结论的序号是______.


三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在直三棱柱中，，，
，交于点，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.


（17）（本小题13分）
已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）和的值；
（Ⅱ）的值．
条件①:,；条件②:,.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．


（18）（本小题14分）
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
蓄水量（亿立方米）
11.25
13.25
13.58
17.4
12.4
12.1
18.3
26.5
34.3
34.1
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）


（19）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论.


（20）（本小题15分）
已知椭圆.
（Ⅰ）求椭圆的离心率和长轴长；
（Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点. 是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.


（21）（本小题15分）
对于数列，定义 设的前项和为.
（Ⅰ）设，写出，，，；
（Ⅱ）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（Ⅲ）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；②.
求所有满足条件的数列的个数.






北京市西城区2020 — 2021学年度第一学期期末试卷
高三数学参考答案 2021.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）D （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）C
（ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）B （ 8 ）D
（ 9 ）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12），
（13） （14），
（15）①④
注：第（12）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以. ……………1分
因为，，所以平面. ……………3分
因为平面，所以.……………4分
因为，，
所以平面. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，
如图建立空间直角坐标系．
则,,,.
……………7分
设，所以，
因为，所以，即. ……………8分
所以平面的一个法向量为． ……………9分
设平面的法向量为，
所以 所以 即 ……………10分
令，则，
所以平面的一个法向量为. ……………11分
所以. ……………12分
由已知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. ……………13分
（17）（共13分）
若选择条件①：
解：（Ⅰ）在中，因为，
所以，. ……………2分
因为，，所以. ……………4分
由余弦定理，， ……………5分
所以. ……………6分
（Ⅱ）由正弦定理，可得. …………7分
所以，. ……………9分
因为，所以，. ……………11分
所以
. ……………13分
若选择条件②：
解：（Ⅰ）在中，因为，所以.
因为，所以，. ………2分
因为，
所以. ……………4分
由余弦定理，，所以. ……………6分
（Ⅱ）由正弦定理得，
所以. ……………8分
因为，所以. ……………10分
所以
. ……………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”，
从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，…2分
由图表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”. ……………3分
所以. ……………4分
（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年.
随机变量的所有可能取值为0，1，2. ……………5分
，，
. ……………8分
所以随机变量的分布列为：

0
1
2






……………9分
所以. ……………11分
（Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. ……………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由，得 ． ……………1分
因为，， ……………3分
所以曲线在点处的切线方程为. …………4分
（Ⅱ）令，得，解得或．
当变化时，和变化情况如下表：













↗

↘

↗
……………7分
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，
；
在处取得极大值，在处取得极小值.
……………9分
（Ⅲ）,，即，
等价于. ……………10分
设,，则.
① 当时，，在区间上单调递增.
又，，
所以在区间上有一个零点. ……………11分
② 当时,设.
，所以在区间上单调递增. ………12分
又，，
所以存在，使得.
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增. ……………13分
又，，
所以在区间上无零点. ……………14分
综上所述，函数在定义域内只有一个零点. ……………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意：，，所以. ……………1分
因为，所以，. ……………2分
所以. ……………3分
所以椭圆离心率为，长轴长为. ……………4分
（Ⅱ）联立 消整理得：. ……………5分
因为直线与椭圆交于两点，故，解得. ……………6分
设，，则，.……………8分
设中点，
则，，
故. ……………9分
假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，故，
所以，解得，故.…………10分
又因为，所以.
所以，即.
整理得 .
所以， ……………12分
代入，整理得，即. ……………14分
当时，点坐标为；当时，点坐标为.
此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形. ……………15分


（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为，，，，，
根据题意可得，，，. ……………4分
（Ⅱ）必要性：对，有，因此. ……5分
对任意且，有，，
两式作差，得，即，
因此 . ……………7分
综上，对任意，有.
充分性：若对任意，有，则，
所以 .
综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，
”. ……………10分

（Ⅲ）构造数列：，
则对任意且，有，.
结合（Ⅱ）可知，.
又，因此.
设中有项为，
则


.
即.
因为，所以或. ……………13分
若，则，
与中有项为，即矛盾，不符题意.
若，则.
所以，当，中有一项为，其余项为时，数列满足条件.
中有一项为，共种取法；其余项每项
有或两种取法，
所以，满足条件的数列的个数为. ……………15分



评分细则
第（16）题
（Ⅰ）不写 不扣分
不写 扣1分
（Ⅱ）不交代，，两两垂直 扣1分
，，，，对2个给1分
没有利用第（1）问结论求平面法向量相应给2分

第（17）题
选择条件①： （Ⅰ）不写在中，不写 不扣分
其他类似的地方，同样处理

公式对答案不对给1分 答案正确没有公式不扣分.
其他类似的地方，同样处理

第（18）题
（Ⅰ）只写结论，没有文字说明，只给结论1分.
（Ⅱ）
过程1分，结论1分，不写过程扣1分，过程中不写扣1分.

第（19）题
（Ⅰ）切线方程不化简不扣分.
（Ⅱ）解方程两根正确给1分
列表正确给2分
单调区间出现错误扣结论1分，此处不重复扣分
极大值出现错误扣结论极大值1分，此处不重复扣分
极小值出现错误扣结论极小值1分，此处不重复扣分

不列表，通过解不等式得到正确结论，不扣分
正确 1分
正确 1分
单调区间都正确 1分
极大值正确 1分
极小值正确 1分
（Ⅲ）不讨论直接两次求导，按如下给分：
正确给1分 （11分）
，所以在区间上单调递增
给1分（12分）
以下按标答给分，去掉14分得分点.

（Ⅲ）直接求导按如下给分
11分

，在上单增12分
时，，
所以时，，在上单增.13分
以下2分.


第（20）题
（Ⅰ）给1分
给1分
给1分
给1分
（Ⅱ）消方程整理对 给1分
给1分 只写不扣分
对 给1分
对给1分
点横、纵坐标都对 给1分
给1分



都可给2分

用按如下给分：

给2分

给1分
，
给1分

第（21）题
（Ⅰ）,,, 对1个给1分