2021届二轮复习 导数的简单应用 课时作业（全国通用） 练习

第5讲 导数的简单应用
专题强化训练
1．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A.　　 B．1
C．0 D．不存在
解析：选A.因为f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1＋1也相切，则t的值为(　　)
A．4e2　　　　B．4e C.　　　D.
解析：选A.由y＝，得y′＝，则切线斜率为k＝，所以切线方程为y－2＝，即y＝x＋1.设切线与曲线y＝ex＋1＋1 的切点为(x0，y0)．由y＝ex＋1＋1，得y′＝ex＋1，则由ex0＋1＝，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y－－1＝，即y＝x－ln ＋＋1，所以由题意，得－ln ＋＋1＝1，即ln ＝2，解得t＝4e2，故选A.
9．(2020·金华十校北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1，若曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a的取值范围为____________．
解析：由题意知，f(x)＝x3－x2＋ax－1的导数
f′(x)＝2x2－2x＋a.
2x2－2x＋a＝3有两个不等正根，则，
得3＜a＜.
答案：
10．(2020·湖州市高三期末)定义在R上的函数f(x)满足：f(1)＝1，且对于任意的x∈R，都有f′(x)＜，则不等式f(log2x)＞的解集为________．
解析：设g(x)＝f(x)－x，
因为f′(x)＜，
所以g′(x)＝f′(x)－＜0，
所以g(x)为减函数，又f(1)＝1，
所以f(log2x)＞＝log2x＋，
即g(log2x)＝f(log2x)－log2x＞
＝g(1)＝f(1)－＝g(log22)，
所以log2x＜log22，又y＝log2x为底数是2的增函数，
所以0＜x＜2，
则不等式f(log2x)＞的解集为(0，2)．
答案：(0，2)
11．(2020·绍兴、诸暨北京朝阳期末二模)已知函数f(x)＝x3－3x，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程是________；函数f(x)在区间[0，2]内的值域是________．
解析：函数f(x)＝x3－3x，切点坐标(0，0)，导数为y′＝3x2－3，切线的斜率为－3，
所以切线方程为y＝－3x；
3x2－3＝0，可得x＝±1，x∈(－1，1)，y′＜0，函数是减函数，x∈(1，＋∞)，y′＞0函数是增函数，f(0)＝0，f(1)＝－2，f(2)＝8－6＝2，
函数f(x)在区间[0，2]内的值域是[－2，2]．
答案：y＝－3x　[－2，2]
12．(2020·台州市高三期末考试)已知函数f(x)＝x2－3x＋ln x，则f(x)在区间[，2]上的最小值为________；当f(x)取到最小值时，x＝________．
解析：f′(x)＝2x－3＋＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝，1，
当x∈(，1)时，f′(x)＜0，x∈(1，2)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在区间[，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)在区间[，2]上的最小值为f(1)＝－2.
答案：－2　1
13．(2020·唐山二模)已知函数f(x)＝ln x－nx(n>0)的最大值为g(n)，则使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范围为________．
解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f′(x)＝－n(x>0，n>0)，
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)