2021届二轮复习 函数与导数的实际应用 课时作业（全国通用） 练习

第21讲 函数与导数的实际应用

1．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7 600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．

(1)求M关于销售价格x的函数关系式；

(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．

解：(1)当x＝60时，t(60)＝1 600，

代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050，

解得a＝2.

∴M(x)＝

即M(x)＝

(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000,34≤u＜60，u∈R，

则g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)．

令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)，

u2＝8＋2∈(50,51)．

当34＜u＜50时，g′(u)＞0，g(u)单调递增；

当51＜u＜60时，g′(u)＜0，g(u)单调递减．

∵x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，

∴M(x)的最大值为44 226.

当60≤x≤70时，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000 单调递减，

故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.

综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44 226元．

答：该打印店店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．

2．(2020·苏州暑假测试)某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB＝x m，且x≥80.

(1)若内圈周长为400 m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？

(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则x取何值时，内圈周长最小？

解：设题中半圆的半径为r(m)，矩形ABCD的面积为S(m2)，内圈周长为c(m)．

(1)由题意知，S＝2rx，且2x＋2πr＝400，即x＋πr＝200，

于是S＝2rx＝·x·(πr)≤2＝(m2)，当且仅当x＝πr＝100(m)时，等号成立．

答：当x＝100(m)时，矩形ABCD的面积最大．

(2)由题意知，2rx＋πr2＝，

于是x＝－·r，

从而c＝2x＋2πr＝2＋2πr＝＋πr.

因为x≥80，所以－·r≥80，

即(πr)2＋160·πr－22 500≤0，

解得－250≤πr≤90，所以0<r≤，故≥.

因为c′＝－·＋π≤－·＋π＝－π<0，

所以关于r的函数c＝＋πr在上是单调减函数．

故当r＝，即x＝－·＝80(m)时，内圈周长c取得最小值，且最小值为＋90＝340(m)．

故当x＝80(m)时，内圈周长最小．

3．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.

(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；

(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的新农村别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？

解：(1)由题意知，FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，

又因为HM⊂平面ABCD，所以FH⊥HM.

在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，

所以FM＝.

因此△FBC的面积为×10×＝.

从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.

所以屋顶面积S关于θ的函数关系式为S＝.

(2)在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，

所以下部主体高度h＝6－5tan θ.

所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝ k－k＋96k＝80k·＋96k.

记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，

令f′(θ)＝0，得sin θ＝，又0<θ<，所以θ＝.

当θ变化时，f′(θ)与f(θ)的变化情况列表如下：

所以当θ＝时，f(θ)有最小值．

故当θ为时，该别墅总造价最低．

4．(2020·南京、盐城一模)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列东营模拟前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mln x－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.

(1)求实数m的值；

(2)求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)

解： (1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mln x－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，

解得m＝12.

(2)由已知函数求导，

得f′(x)＝＋600×

＝(12－x).

令f′(x)＝0，得x＝12.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：

所以函数f(x)在x＝12时取极大值，也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时．

5．(2020·北京朝阳期末)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．

(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；

(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值；

(3)已知函数f(x)＝－x2＋a，g(x)＝.对任意a>0，判断是否存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)内存在“S点”，并说明理由．

解：(1)证明：因为函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，

所以f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.

由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，

得此方程组无解，

因此f(x)与g(x)不存在“S点”．

(2)因为函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x，

所以f′(x)＝2ax，g′(x)＝.

设x0为f(x)与g(x)的“S点”，

由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，

得即(*)

所以ln x0＝－，即x0＝e－，

所以a＝＝.

当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，

即x0为f(x)与g(x)的“S点”．

所以a的值为.

(3)对任意a＞0，设h(x)＝x3－3x2－ax＋a.

因为h(0)＝a＞0，h(1)＝1－3－a＋a＝－2＜0，且h(x)的图象是不间断的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)＝0.

令b＝，则b＞0.

函数f(x)＝－x2＋a，g(x)＝，

则f′(x)＝－2x，g′(x)＝.

由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，

得

即(**)

此时，x0满足方程组(**)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间)(0,1)内的一个“S点”．

因此，对任意a＞0，存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)内存在“S点”．