2021届二轮复习 考点八导数及其应用 理 作业（全国通用） 练习

考点八　导数及其应用

一、选择题
1．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是(　　)
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
答案　B
解析　依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x2与直线y＝x的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(x－x2)dx，选B.
2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x) 的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A

解析　如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.
3．(2020·天津南开区模拟)过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是(　　)
A． B．∪
C． D．
答案　B
解析　因为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1，解得倾斜角α∈∪.
4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因为f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故选C.
5．已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x4或m0，即4m2－12>0，解得m>4或m0时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．
解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f(1)＝1＋a＋b＋a2＝4，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
∴或
经检验都符合题意．
(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x3＋3x2－9x＋9，
∴f′(x)＝3x2＋6x－9.
f(－2)＝31，f′(－2)＝－9.
∴所求的切线方程为y－31＝－9(x＋2)，
即9x＋y－13＝0.
14．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝－(a为实常数)．
(1)当a＝1时，求函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上的最小值；
(2)若方程e2f(x)＝g(x)(其中e＝2.71828…)在区间上有解，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，函数φ(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，∴φ′(x)＝－＝.
∵x∈[4，＋∞)，∴φ′(x)>0.
∴函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上单调递增，
∴当x＝4时，φ(x)min＝2ln 2－.
(2)方程e2f(x)＝g(x)可化为x2＝－.
∴a＝x－x3.
设y＝x－x3，则y′＝－3x2.
∵x∈，
∴函数y＝x－x3在上单调递增，在上单调递减．
∵x＝时，y＝；x＝时，y＝；x＝1时，y＝，
∴y∈，∴a∈.

一、选择题
1．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(　　)
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
答案　D
解析　由题意知，f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－，又当x0.∴当x＝－时，f(x)取最小值．
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
答案　D
解析　由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x2时，f′(x)>0，当00，若函数f(x)在区间(0，＋∞)内有两个零点，有f(a)＝2a3－3a3＋1＝1－a31，故选B.
4．(2020·西安五校联考吉安一模)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　若直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠0)，则k＝＝＝x＋x0＋1，又∵y′＝3x2，∴k＝3x，∴2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－，∴过点P(1，1)与曲线C：y＝x3相切的直线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C.
5．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　D
解析　依题意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋1＝.
6．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是(　　)
A．2 B．2
C．2 D．
答案　A
解析　当y′＝＝2时，x＝1，则点(1,0)到直线2x－y＋8＝0的距离是曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离，即最短距离为＝2，故选A.
7．(2020·广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是(　　)
A．ln B．
C． D．
答案　B
解析　由题意，令f(x)＝，则f′(x)＝，∴x>e时，f′(x)ln 3>ln π>ln ()，
∴>ln >>ln 15，故选B.
8．(2020·西安五校联考景德镇二检)定义在R上的函数f(x)满足对任意x∈(0，＋∞)，都有f′(x)f(－b)－f(－a)，则下列关系式中正确的是(　　)
A．a>b B．ab2 D．a2g(b)，所以|a|