2021届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课时作业（全国通用） 练习

第2讲 三角恒等变换与解三角形专题强化训练1．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1C．   D．0解析：选D.因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.2．(2020·北京朝阳期末济南高三期末)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.3．(2020·台州市北京朝阳期末一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)A.   B.C.或   D.或解析：选C.因为2b－c＝2acos C，所以由正弦定理可得2sin B－ sin C＝2sin Acos C，所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C，所以2cos Asin C＝sin C，所以cos A＝，所以A＝30°，因为sin C＝，所以C＝60°或120°.A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×2×＝，A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)A．2   B．2C．4   D．3解析：选B.因为＝＝＝1，所以2cos C＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absin C＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)A．8   B．4C．2   D．1解析：选C.因为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，所以＝＝＝＝2.6．(2020·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　) A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1＝，2r2＝，因为∠APB＋∠APC＝180°，所以sin∠APB＝sin∠APC，所以＝，所以λ＝＝.故选D.7．(2020·福州市综合质量检测)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝(　　)A.   B.C.   D.2解析：选D.设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2，故选D.8．(2020·咸阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，b＝6，AB边上的点M满足＝2，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是(　　)A．36   B．37C．38   D．39解析：选A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sin C＝1，C＝，所以sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，即sin A＝sin B，所以A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tan θ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.9．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.答案：　110．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.答案：11．(2020·金丽衢十二校联考二模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos B＝bcos A，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．解析：△ABC中，acos B＝bcos A，所以sin Acos B＝sin Bcos A，所以sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，所以A＝B，所以a＝b；又△ABC的面积为S＝absin C，且4S＝2a2－c2，所以2absin C＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，所以sin C＝＝cos C，所以C＝.答案：12．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．解析：由正弦定理可知＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为cos∠BAC＝，据余弦定理BC＝＝＝.答案：13．(2020·惠州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.答案：(4，2)14．(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acos C－c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围．解：(1)由acos C－c＝b得：sin Acos C－sin C＝sin B，又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝－cos Asin C，因为sin C≠0，所以cos A＝－，又0＜A＜π，所以A＝.(2)由正弦定理得：b＝＝2sin B，c＝2sin C，l＝a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)＝3＋2[sin B＋sin(A＋B)]＝3＋2＝3＋2sin，因为A＝，所以B∈，所以B＋∈，所以sin∈，则△ABC的周长l的取值范围为(6，3＋2　]．15．(2020·湖州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.(1)求角A的值；(2)求sin B－cos C的最大值．解：(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由A＝，得B＋C＝，所以sin B－cos C＝sin B－cos＝sin B－＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜，当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1.16．(2020·宁波镇海中学模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝sin B，且满足tan A＋tan C＝.(1)求角C和边c的大小；(2)求△ABC面积的最大值．解：(1)tan A＋tan C＝可得＋＝＝＝＝，所以cos C＝，因为0＜C＜π，所以C＝，因为b＝sin B，由正弦定理可得＝＝，所以c＝.(2)由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号．所以S△ABC＝absin C＝ab≤×＝，故△ABC面积的最大值为.17．(2020·成都市第二次诊断性检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的长． 解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝.因为B＝，BE＝1，CE＝，所以sin∠BCE＝＝＝.(2)因为∠CED＝∠B＝，所以∠DEA＝∠BCE，所以cos∠DEA＝＝＝＝.因为A＝，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝＝＝2.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.所以CD＝7.