2021届二轮复习 三角函数的实际应用 课时作业（全国通用） 练习

第5讲 三角函数的实际应用

1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________n mile/h.

解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.

在△PMN中，＝，

∴MN＝68×＝34 n mile.

又由M到N所用的时间为14－10＝4小时，

∴此船的航行速度v＝＝ n mile/h.

答案：

2．在200米高的山顶上，测得山下一塔塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________米．

解析：如图所示，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，所以BC＝＝，AM＝DMtan 30°＝BCtan 30°＝.

所以CD＝AB－AM＝.

答案：

3.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为________．

解析：由题意知，函数的周期为T＝60，

∴|ω|＝＝.

设函数解析式为y＝sin.

∵初始位置为P0，

∴t＝0时，y＝，∴sin φ＝，∴φ可取，

∴函数解析式可以是y＝sin.

又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，

故y＝sin.

答案：y＝sin

4．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经过长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

解：(1)由表中数据知最小正周期T＝12.

所以ω＝＝＝.

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.①

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.②

联立①②，可得A＝0.5，b＝1，

所以振幅A为，y＝cost＋1.

(2)由cost＋1>1，得cost>0.

所以2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3，k∈Z，

因为0≤t≤24，所以k可取值0,1,2，

得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.

所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.

5．(2020·南京、盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝，且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

解：过O作OH垂直于AB，垂足为H(图略)．

在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，

所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α.

由图可知，点P处观众离点O处最远．

在△OAP中，由余弦定理可知

OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos

＝400＋(40cos α)2－1 600cos α·

＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1)

＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4)

＝800sin＋1 600.

因为α∈，所以当2α＝时，即α＝时，

(OP2)max＝800＋1 600，即(OP)max＝20＋20.

因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米，

答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求．

6．(2020·启东期末)如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB＝100米，BC＝80米，以AD，BC为直径的两个半圆内种花草，其他区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元，修建的总造价为W元，设∠NBC＝θ.

(1)求W关于θ的函数关系式；

(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价．

解：(1)

连结NC，AM，设AD的中点为O，连结MO，过N作EN⊥BC，垂足为E.

由BC为直径知，∠BNC＝90°，

又BC＝80米，∠NBC＝θ，

所以BN＝80cos θ米，NE＝BN sin θ＝80sin θcos θ，

因为MN∥AB，AB＝100米，

所以MN＝AB－2NE＝100－160sin θcos θ米，

由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ，OM＝40米．

所以＝40×2θ＝80θ米，

因为直路的工程造价为每米2a元，弧形路的工程造价为每米3a元，所以总造价为

W＝2a(BN＋MN)＋3a

＝2a(80cos θ＋100－160sin θcos θ)＋3a·80θ

＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5).

所以W关于θ的函数关系式为W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5).

(2)设f(θ)＝4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5,0<θ<.

则f′(θ)＝－4sin θ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sin θ－2＝2(4sin θ＋1)(2sin θ－1)．

令f′(θ)＝0，得θ＝.

列表如下：

所以，当θ＝时，f(θ)取得最小值．

此时，总造价W最少，最少总造价为(200＋40π)a元．

答：(1)W关于θ的函数关系式为

W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋60＋5)；

(2)当θ＝时，修建的总造价最少，最少总造价为(200＋40π)a元．

7.某避暑山庄拟对一半径为1百米的圆形地块(如图)进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD，其中AB∥CD，∠DAB＝60°，圆心O在梯形内部，设∠DAO＝θ.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”．

(1)求梯形游泳池的面积S关于θ的函数关系式，并指明定义域；

(2)求当该游泳池为“最佳游泳池”时tan θ的值．

解：(1)如图，分别取AB，CD的中点E，F，连结EF，OD，由平面几何知识可得E，O，F三点共线，且EF⊥AB，EF⊥CD.

易知AB＝2AE＝2cos(60°－θ)，DC＝2DF＝2cos(120°－θ)，

EF＝OE＋OF＝sin(60°－θ)＋sin(120°－θ)＝cos θ，

且得30°＜θ＜60°.

则梯形ABCD的面积

S＝(AB＋CD)×EF

＝[2cos(60°－θ)＋2cos(120°－θ)]×cos θ

＝3sin  θcos θ(百米2)，30°＜θ＜60°.

(2)易知AD＝2cos θ，

由(1)可得梯形ABCD的周长

l＝AB＋CD＋2AD＝2sin  θ＋4cos θ(百米)．

设y＝，30°＜θ＜60°，

则y′＝.

由y′＝0得tan3θ＝.

令tan θ0＝ ，则当30°＜θ＜θ0时，y′＞0，y单调递增，当θ0＜θ＜60°时，y′＜0，y单调递减，

所以当θ＝θ0，即tan θ＝ 时，该游泳池为“最佳游泳池”．