2021年海淀区高三年级第一学期期末练习数学试题（Word版，含答案）
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数 学 2021. 01
本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）抛物线的准线方程是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（2）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 | （B）第二象限 |
（C）第三象限 | （D）第四象限 |
（3）在的展开式中，的系数为
（A） | （B） | （C） | （D） |
（4）已知直线：，点和点. 若∥，则实数的值为
（A） | （B） | （C） | （D） |
（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
（6）已知向量，满足，，且，则=
（A） | （B） | （C） | （D） |
（7）已知，是两个不同的平面，“∥”的一个充分条件是
（A）内有无数条直线平行于 |
（B）存在平面，， |
（C）存在平面，，，且∥ |
（D）存在直线，， |
（8）已知函数，则
（A）是偶函数 |
（B）函数的最小正周期为 |
（C）曲线关于直线对称 |
（D） |
（9）数列的通项公式为，，前项和为. 给出下列三个结论：
①存在正整数（），使得；②存在正整数（），使得；③记，则数列有最小项. 其中所有正确结论的序号是
（A）① | （B）③ | （C）①③ | （D）①②③ |
（10）如图所示，在圆锥内放入两个球,,它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点. 这两个球也称为Dandelin双球. 若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为，，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点.则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革. 某校高一、高二和高三学生人数如图所示，采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取的样本中，高一学生有人，则该样本中的高三学生人数为_______.
（12）设等比数列的前n项和为.若成等差数列，则数列的公比为_______.
（13）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点，则该双曲线的渐近线方程为_______；_______.
（14）已知函数是定义域为的奇函数，且时，，则=_______，的值域是_______.
（15）已知圆:，直线:，点，点.
给出下列四个结论：
① 当时，直线与圆相离；
② 若直线是圆的一条对称轴，则；
③ 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④ 为圆上的一个动点.若，则的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共15分）
在三棱柱中，侧面为矩形，平面，，分别是棱，的中点.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（17）（本小题共14分）
若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求和的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
（18）（本小题共14分）
某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年 份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年生产台数（单位：万台） | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 9 | 10 | 10 | a |
年返修台数（单位：台） | 32 | 38 | 54 | 58 | 52 | 71 | 80 | 75 | b |
年利润（单位：百万元） | 3.85 | 4.50 | 4.20 | 5.50 | 6.10 | 9.65 | 10.00 | 11.50 | c |
注：.
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀. 现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为，，. 若，其中表示这两个数中最大的数．请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
（19）（本小题共14分）
已知椭圆: （）的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及其长轴长；
（Ⅱ），为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点. 若△的面积比△的面积大，求点的坐标.
（20）（本小题共14分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）设.若存在使得，求的最大值.
（21）（本小题共14分）
设是由（）个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值是，且所有数的和是非负数，则称数表是“阶非负数表”.
（Ⅰ）判断如下数表，是否是“阶非负数表”；
1 | 1 | -1 | -1 |
1 | 1 | -1 | -1 |
1 | -1 | 1 | -1 |
1 | 1 | -1 | -1 |
-1 | -1 | -1 | -1 |
1 | 1 | 1 | -1 |
1 | -1 | 1 | -1 |
1 | 1 | -1 | -1 |
数表 数表
（Ⅱ）对于任意“阶非负数表”，记为的第行各数之和（），证明：存在，使得；
（Ⅲ）当（）时，证明：对于任意“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的个数之和不小于.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学参考答案 2021.1
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
题号 | （1） | （2） | （3） | （4） | （5） | （6） | （7） | （8） | （9） | （10） |
答案 | B | A | D | B | A | C | D | C | C | A |
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
题号 | （11） | （12） | （13） | （14） | （15） |
答案 | 或 |
| ①②④ |
三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题共15分）
解：（Ⅰ）在三棱柱中，//，且.
因为 点分别是棱的中点，
所以 //，且.
所以 四边形是平行四边形.
所以 //.
又因为 平面，平面，
所以 //平面.
（Ⅱ）因为 平面，平面，
所以 .
因为 侧面为矩形，
所以 .
又因为 ，平面，平面，
所以 平面.
（Ⅲ）分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，.
所以 ，，.
设平面的法向量为，则
即
令，则，.
于是.
所以 .
所以 直线与平面所成角的正弦值为.
（17）（本小题共14分）
选择①②③
解：（Ⅰ）因为 ，，
由正弦定理得
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
（Ⅱ）在中， ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以
.
所以
由正弦定理得，即.
因为 ，
所以 .
选择①②④
解：（Ⅰ）因为 ，，
由正弦定理得
在中，，
所以 .
所以 .
（Ⅱ）在中，，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以
.
所以
因为 ，
所以 .
由正弦定理得.
（18）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.
所以 从2013~2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为．
（Ⅱ）由图表知，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，
所以的所有可能取值为．
，，．
所以的分布列为
故的数学期望．
（Ⅲ）的最大值为，最小值为．
（19）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为 椭圆经过点，
所以 .
因为 椭圆的离心率为，
所以 ，其中.
所以
所以 椭圆的方程为，长轴长.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意可知，.
由（Ⅰ）可知,.
所以 △的面积为，△的面积为.显然△的面积比△的面积大.
当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，且.
令，得，所以 .
由 得.
依题意可得点的纵坐标.
因为 点在轴下方，所以，即.
所以 △的面积为，
△的面积为
.
因为 △的面积比△的面积大，
所以 .
此原方程无解.
综上所述，点的坐标为.
方法二
因为 点在轴下方，所以 点在线段（不包括端点）上.
由（Ⅰ）可知,.
所以 △的面积为.
因为 △的面积比△的面积大，
所以 点在线段（不包括端点）上，且△的面积等于△的面积.
所以 △的面积等于△的面积.
所以 ∥.
设，，
则.
因为 点在椭圆上，
所以 .
所以
所以 点的坐标为.
（20）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
令，得．
与在区间上的情况如下：
↗ | 极大 | ↘ |
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）因为 ，所以 .
所以 ．
① 当时，，所以；
② 当时，，所以．
所以 在内单调递增，在内单调递减．
所以 ．
（Ⅲ）因为 ，所以 ．
① 当时，，即存在，使得；
② 当时，由（Ⅱ）可知，，即.
所以
.
所以 对任意，，即不存在使得．
综上所述，的最大值为．
（21）（本小题共14分）
解：记为数表中第行第列的数，为数表中所有数的和，为数表中前行列交叉处各数之和.
（Ⅰ）是“ 阶非负数表”；不是“阶非负数表”．
（Ⅱ）由题意知，，，且数表是“阶非负数表”，
所以 （）为奇数，且．
不妨设．
① 当时，因为为奇数，所以.
所以 ．
② 当时，因为为奇数，所以.
所以 .
所以 ．
又因为 均为奇数，
所以 ．
（Ⅲ）（1）先证明数表中存在行列（），其所有数的和大于等于．
设（），由题意知．
不妨设．
由于，
所以 ．
（2）由（1）及题意不妨设数表前行列（），其所有数的和大于等于．
下面考虑前行，证明存在行列，其所有数的和大于等于．
设（），则．
不妨设．
因为 为个奇数的和，所以 为奇数（）．
① 当时，因为为奇数，所以 .
所以．
② 当时，因为为奇数，所以 .
所以 .
所以 ．
（3）在（2）所设数表下，证明前行前列中存在行列，其所有数的和．设（），则．
不妨设．
① 当时，；
② 当时，.
所以 ，所以 ．
综上所述，对于任何“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的所有数之和不小于.
