2021年东城区高三第一学期期末统一检测数学试题（Word版，含答案）
展开东城区2020—2021学年度第一学期期末统一检测
高 三 数 学 2021.1
本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知是公差为的等差数列，为其前项和．若，则
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
（4）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为
（A） （B） （C） （D）
（5）与圆相切于点的直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
（6）函数的部分图象如图所示，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有
（A）242种 （B）220种 （C）200种 （D）110种
（9）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则点到轴的距离为
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
（10）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为
（A）1090元 （B）1171元 （C）1200元 （D）1210元
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）复数_______．
（12）函数的定义域是_______．
（13）已知，，则_______，_______．
（14）已知双曲线，为等边三角形. 若点在轴上，点在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，则双曲线的离心率为_______．
（15）已知函数,，其中表示不超过的最大整数.
例如：,,.
①_______；
②若对任意都成立，则实数的取值范围是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（Ⅰ）的最小正周期；
（Ⅱ）在区间上的最大值．
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为
[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)，
其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量为[250，300)， [300，350)的水果中抽取6个，求质量在[250，300) 的水果数量；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300，350)的水果数量，求X的分布列及数学期望；
（III）果园现有该种水果约20 000个，其等级规格及销售价格如下表所示，
质量m(单位：克) | m<200 | 200≤m<300 | m≥300 |
等级规格 | 二等 | 一等 | 特等 |
价格(元/个) | 4 | 7 | 10 |
试估计果园该种水果的销售收入.
（19）（本小题15分）
已知椭圆过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点(,不重合)， 轴，垂足为. 求证：.
（20）（本小题15分）
已知函数．
（I）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程
（II）若，求证：当时，；
（III）若有且只有两个零点，求的值．
（21）（本小题15分）
给定正整数，若数列满足：；，，则称数列具有性质.
对于两个数列，
定义数列的项为：.
（I）设数列具有性质，数列的通项公式为，求数列的前四项和；
（II）设数列具有性质，数列满足：且. 若存在一组数列使得为常数列，求出所有可能的值；
（III）设数列具有性质，数列满足：，且.若存在一组数列，使得为常数列，求的最小值.（只需写出结论）
东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2021.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）C （3）D （4）B （5）A
（6）A （7）B （8）C （9）C （10）B
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
（11） （12）
（13） （14）
（15）
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为平面，
所以.
因为底面是正方形，
所以.
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面. …………………………………………………..4分
（Ⅱ）因为平面，
所以，.
因为底面是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系.
因为，底面为边长为2的正方形，
所以，，，，
，，.
，，.
设平面法向量，
由可得
令，则，
所以.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………..13分
（17）（本小题13分）
解：选择条件①：
（Ⅰ）
．
所以的最小正周期是． ……………………………………………………………….……………….… 7分
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
所以.
所以.
当，即时，有最大值. …………………………………………………………13分
选择条件②：.
（Ⅰ）
．
所以的最小正周期是． ………………..……………………………………………….……………….… 7分
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
所以.
当，即时，有最大值. ……………………………………………………………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）质量在[250，300)，[300，350)的该种水果的频率分别为0.00850=0.4，
0.00450=0.2，其比为2：1.
所以按分层抽样从质量在[250，300)，[300，350)的这种水果中随机抽取6个，
质量在[250，300)的该种水果有4个. .……………………...…………….4分
（Ⅱ）由(I)可知，6个水果中有2个的质量在[300，350).
所以X的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
故X的数学期望E(X)=. .…………………….…….10分
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，质量在[100，150)，[150，200)，[200，250)，
[250，300)，[300，350)，[350，400]的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，
0.4，0.2，0.05.
所以估计20 000个水果中，二等品有20000(0.1+0.1)=4 000个；
一等品有20 000(0.15+0.4)=11 000个；
特等品有20 000(0.2+0.05)=5 000个.
果园该种水果的销售收入为4 0004+11 0007+5 00010=143 000(元).
.…………………….……. .…………………….……. .…………………….14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）依题意，得
解得.
所以椭圆的方程为. …….……. .……………………………. 4分
（Ⅱ）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为：.
由消去，整理得.
依题意，有，解得.
设，则,.
因为ETx轴，所以.
所以.
又因为，
所以. …………..……. . .……….……………………….15分
（20）（本小题15分）
【解析】（I）因为，所以，故
所以，所以，所求切线方程为，即.
………………………………………………………………………………………………………………………4分
（II）当时，，，
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
所以，的极小值，故，. …….………………………………………13分
（III）对于函数．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在单调递增；
当时，；所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点.
由于，
① 若，即，在没有零点；
② 若，即，在只有一个零点；
③ 若，即，由于，所以在有一个零点，
由（II）知，当时，，
所以．
故在有一个零点.
因此时，在有两个零点．
综上，当有两个零点时，． ………………………..............………………………………………………13分
（21）（本小题15分）
解：（I）数列的前四项和为的前四项和与的前四项和之和，为2+10=12.
..............……………………………………………………………………………………………………………4分
（II）由题知，数列满足：，所以只需要考虑数列和的前四项.
取为；；；；；，可使的前四项为，所以成立.
取为；；，可使的前四项为，所以成立.
取为；；；；，可使的前四项为，所以成立.
当时，前4项只能是，所以不会是常数列；
综上. ...……………….……………………………………………………………………………………..12分
（III）. ………………………………………………………………………………………………..15分
