2021年丰台区高三第一学期期末练习高三数学试题（Word版，含答案）
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高三数学 2021.01
考生须知：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 本试卷共150分，考试时间120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，那么
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（2）在等差数列中，若，则
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（4）若函数则函数的值域为
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（5）若关于的方程组无解，则
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（6）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意，都有；②存在区间，在区间上单调递减的函数是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（7）已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的
（A）充分而不必要条件 | （B）必要而不充分条件 |
（C）充分必要条件 | （D）既不充分也不必要条件 |
（8）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科）．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（9）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在使成立，则的最大值为
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度(毫克/立方米)与时间(分钟)之间的函数关系为(为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是
（A）9:40 | （B）9:30 |
（C）9:20 | （D）9:10 |
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在复平面内，复数对应的点在直线上，则实数_____．
（12）已知双曲线的一条渐近线方程为，那么该双曲线的离心率为_____．
（13）已知正六边形的边长为1，那么_____；若，则_____．
（14）函数的最小正周期_____，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 若函数的最大值为2，则的值可以为_____．
（15）对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点满足，给出下列四个结论：
①三点可能共线；
②三点可能构成锐角三角形；
③三点可能构成直角三角形；
④三点可能构成钝角三角形．
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在三棱柱中， 侧面和
都是正方形，平面平面，分别为
的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
在中，已知，,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如下表：
| 男性 | 女性 | ||
打包 | 不打包 | 打包 | 不打包 | |
第1段 | 250 | 650 | 450 | 650 |
第2段 | 300 | 600 | 550 | 550 |
第3段 | 600 | 400 | 750 | 250 |
第4段 | 850 | 350 | 650 | 150 |
假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．
（Ⅰ）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率；
（Ⅱ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有人外出就餐有剩余时打包，求的分布列；
（Ⅲ） 假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“”表示第段居民外出就餐有剩余时打包，“”表示第段居民外出就餐有剩余时不打包()，写出方差的大小关系．（只需写出结论）
（19）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数在区间上有极值，且对于恒成立，求的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知椭圆过两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与轴交于点，过点作不垂直于坐标轴且与不重合的直线，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，求证：为定值．
（21）（本小题15分）
已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令．
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若是等比数列，证明：存在正整数，当时，是等比数列．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2020—2021学年度第一学期期末练习
高三数学 答案
2021．01
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | A | C | B | D | C | A | B | D | C | B |
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13．
14．，（答案不唯一） 15．①③④（全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
（Ⅰ）证明：取中点，连接，
在中，分别是的中点，
所以，．
在三棱柱中，
四边形为正方形，为中点，
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形．
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解： 因为平面平面，平面平面，平面，
正方形中，
所以平面．
所以．
正方形中．
如图建立平面直角坐标系．
不妨设，则，，，，，
，．
所以，，．
设平面的法向量，则
， 即．
令，则．
于是．
设直线与平面所成的角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（17）（本小题13分）
解①：（Ⅰ） 因为，
所以．
所以．
所以．
（Ⅱ） 由正弦定理得．
所以．
解②：（Ⅰ） 由得．
由正弦定理得．
（Ⅱ）由余弦定理，得
．
即，
解得（舍）．
所以．
（18）（本小题14分）
（Ⅰ）解： 设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件.
男性居民外出就餐有剩余时打包的有250+300+600+850=2000人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有650+600+400+350=2000人，被调查的男性居民有2000+2000=4000人，
所以．
女性居民外出就餐有剩余时打包的有450+550+750+650=2400人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有650+550+250+150=1600人，被调查的女性居民有2400+1600=4000人，
所以．
（Ⅱ）解： 的所有可能取值为0,1,2.
由题设知，事件与相互独立，且
，．
所以，
，
．
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | |
（Ⅲ）解：
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 当时，因为，
所以．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）因为，函数在区间上有极值，
所以．
所以．
当变化时，，的变化情况如下表：
|
| ||||
因为对于恒成立，
所以，且．
所以，即．
因为，
所以．
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 由椭圆过，两点，得
，．
所以．
所以椭圆W的方程为．
（Ⅱ） 由，
设直线的方程为.
由得．
且.
设，则．
记直线的方程为，
令，得点的纵坐标．
记直线的方程为，
令，得点的纵坐标．
所以为定值1．
方法2：
所以为定值1．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ） ，，．
（Ⅱ） 由题意知，，
所以．
所以，即．
（Ⅲ） 由题意知，及，
①当时，得，即．
所以．
所以．
即为公比等于1的等比数列．
②当时，令，则．
当时，
显然．
若，则，与矛盾，
所以，即．
取，当时，
，显然是等比数列．
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
（若用其他方法解题，请酌情给分）
