高中数学教案必修三：1.4 算法案例（2）

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教学目标：

1．理解欧几里得辗转相除法的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析．

2．理解用欧几里得辗转相除法求两个数的最大公约数的方法与步骤．

3．能根据算法语句与流程图的知识设计完整的流程图并写出其伪代码．

教学重点：

1．理解欧几里得辗转相除法求两个数的最大公约数的方法与步骤．

2．能写出欧几里得辗转相除法的流程图和伪代码．

教学难点：

1．利用计算机编程来实现求两个数的最大公约数．

2．欧几里得辗转相除法的流程图和伪代码程序．

教学方法：

1．通过复习小学学过的求两个数的最大公约数的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于理解．

2．教学中利用类比教学法，可以加深学生对欧几里得辗转相除法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．

3．通过数学与计算机编程的结合，有利于学生理解构造性数学，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤，培养学生综合应用知识解决有关问题的能力．

教学过程：

一、问题情境

在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？

我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容．

二、学生活动

解：8251＝6105×1＋2146

显然8251和的2146最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数．

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

则37为8251与6105的最大公约数．

三、建构教学

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法．也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：用较大的数除以较小的数得到一个商和一个余数；

第二步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；

第三步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；

……

依次计算直至，此时所得到的即为所求的最大公约数．

四、数学运用

利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果．

（1）辗转相除法的程序框图及程序

程序框图：

伪代码:

用较大的数除以较小的数，得到除式，直到．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．辗转相除法中蕴含的数学原理及算法语言的表示；

2．函数的含义．