高中数学教案必修三：3.3 几何概型（1）

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教学目标：

1．了解随机数的概念和意义；

2．了解用模拟方法估计概率的思想；

3．了解几何概型的基本概念、特点和意义；

4．了解测度的简单含义；

5．了解几何概型的概率计算公式．

教学方法：

谈话、启发式．

教学过程：

一、问题情境

问题1：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．

    奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12．2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？

能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？

（1）能用古典概型描述事件的概率吗？为什么？

（2）试验中的基本事件是什么？

（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？

（4）符合古典概型的特点吗？

二、学生活动

问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．

问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．

三、建构数学

几何概型的特点：

(1)基本事件有无限多个；

(2)基本事件发生是等可能的．

一般地,在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率：

四、数学运用

1．例题．

例1　两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m的概率．

解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，

由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时，事件A发生，于是事件A发生的概率P（A）= =．

例2　取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．

数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．

如果向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，那么

当n 很大时，比值，即频率应接近于 P(A)，于是有

由此可得    

2．练习．

（1）在数轴上，设点x∈中按均匀分布出现，记a∈(－1，2]为事件A，则P（A）=（     ）

A．1  　　B．0    　　C．   　　D．

（2）在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？

（3）在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

（4）如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率．

（5）在正方形ABCD内随机取一点P，求∠APB ＞ 90°的概率．

变式：∠APB ＝90°？

结论：概率为0的事件可能发生！

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．古典概型与几何概型的对比．

相同：两者基本事件的发生都是等可能的；

不同：古典概型要求基本事件有有限个，

     　　 几何概型要求基本事件有无限多个．

2．几何概型的概率公式．

3．几何概型问题的概率的求解．

（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；

（2）D的测度不为0，当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的 “测度”分别是长度、面积和体积．

（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域D内随机取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．