高中数学教案必修三：第3章 概率复习与小结

 www.ks5u.com

教学目标：

通过复习，使学生在具体情景中：

1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性；

2．了解概率的某些基本性质和简单的概率模型；

3．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；

4．能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；

5．培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观．

教学重点：

求解一些简单古典概型、几何概型．

教学难点：

古典概型、几何概型的对比．

教学方法：

谈话、启发式．

三、建构数学

随机事件注意点：

1．要搞清楚什么是随机事件的条件和结果．

2．事件的结果是相应于“一定条件”而言的．因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．

3．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．

概率注意点：

（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率；

（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此．  

四、数学运用

（一）随机现象

例1  指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？

（1）若都是实数，则；

（2）没有空气，动物也能生存下去；

（3）在标准大气压下，水在温度时沸腾；

（4）直线过定点；

（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；

（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．

（二）古典概型与几何概型的对比．

古典概型的概率公式：

几何概型的概率公式

相同：两者基本事件的发生都是等可能的；

不同：古典概型要求基本事件有有限个，

      　　几何概型要求基本事件有无限多个．

例2　掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率．

分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A，再确定样本空间元素的个数n，和事件A的元素个数m．最后利用公式即可．

解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是

       Ω＝{1， 2，3， 4，5，6}

∴n＝6

而掷得偶数点事件A＝{2，  4，6}

∴m＝3

∴P(A) ＝

点评　枚举法是计算古典概型中事件的重要方法，同时也要能熟练地运用图表法和树形图对某些等可能事件进行列举，教材例3的图表法采用坐标系的形式，横、纵轴分别表示第一、二次抛掷后向上的点数，此表能清楚直观地表现出各种情况，树形图对于元素不多而又易于分类的计数问题很有效，例4中画出了三“树”，其实只要画出一个树即可推知其余两个树的情况．

例3　如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)．

（1）求点P到原点距离小于1的概率；

（2）求以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．

解析（1）所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，

则

所以符合条件的点P构成的区域是圆

x2＋y2＝1在第一象限所围的平面部分．

∴点P到原点距离小于1的概率为：＝．

（2）构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，

cosα＝＞0，x2＋y2＞1，

即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外，

∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内，

∴其概率为：＝．

答：点P到原点距离小于1的概率为；以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率为1－．

（三）     互斥事件

1．互斥事件概率的理解．

（1）互斥事件概率的加法公式，是在事件A和事件B互斥的前提下进行的．事件A，B互为对立事件的条件是：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，且有P(A)＋P(B)＝1．

（2）对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件，只有当两个互斥事件中有一个发生时，它才能成为对立事件．

（3）从集合的角度来看，若将总体看成全集U，将事件A看成由A所含的结果组成的集合，则A是U的子集，这时A的对立事件可看成是A的补集；判断两个事件是否为对立事件，首先要判断它们是否互斥；其次要确定它们中必定要有一个发生．

2．从正面解决问题较困难时，可转换思维视角从其反面考虑，即从事件的对立事件考虑，往往可以降低解题的难度，简化运算．此技巧为“正难则反”策略，此策略在互斥事件的概率中应用相当广泛和频繁，应引起我们足够的重视．

例4  一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形ABC区域内任意爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率是             ．

答：．

（四）练习．

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的事件是                                          (    )

A．至少有1个白球和全是白球     B．至少有1个白球和至少有1个红球      

C．恰有1个白球和恰有2个白球   D．至少有1个红球和全是白球

2．如果事件A，B互斥，那么                                (    )

 　 A．A＋B是必然事件                B． 是必然事件

C． 与一定互斥          　 　 D． 与一定不互斥

3．下列命题中，真命题的个数是                        (    )

 　　①将一枚硬币抛两次，设事件A为“两次出现正面”，事件B为“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件；

 　　②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件；

 ③若事件A 与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件；

 ④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件．

 　　A．1             B．    2        C．3         D．4

4．甲，乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲，乙两人下成和棋的概率为                                (    )

A．60％        B．30％       C．10％       D．50％

5．某射击运动员在一次射击训练中，命中10环，9环，8环，7环的概率分别为0．21，0．23，0．25，0．28．则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________，少于7环的概率是____________．

6．在区间上任取一个数，求 x<3 或x>6的概率______．

7．有5张1角，3张2角和2张5角的邮票，任取2张，求其中两张是同价格的概率___________．

9．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求，18％的进口商品恰好4年关税达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．

10．袋中有2个伍分硬币，2个贰分硬币，2个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过7分的概率．

11．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

指导学生阅读有关资料，了解人类认识随机现象的过程．结合概率的教学，进行偶然性和必然性对立统一观点的教育．

让学生感受数学与现实世界的重要联系，崇尚数学的理性精神，逐步形成辨证的思维品质；养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯，提高学生的数学表达和交流的能力；进一步拓宽学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．