2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

 2021届二轮（理科数学） 立体几何      专题卷 （全国通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（   ）(A) 直角三角形  （B）锐角三角形   （C）钝角三角形   （D）斜三角形2、点位于（　　）A.    B.      C.       D.3、点位于（　　）                       A．    B．      C．       D．4、以下命题中,不正确的命题个数为(　　)①已知A、B、C、D是空间任意四点,则A＋B＋C＋D＝0②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若O＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.A.0 B.1  C.2 D.35、空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（　　）A． B． C． D．6、在空间直角坐标系中,已知 .若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（  ）A． B．C． D．7、设，，则的最小值是（    ）A．         B．          C．            D．8、向量，，，中，共面的三个向量是（    ）．A． ，，    B． ，，    C． ，，    D． ，，9、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（   ）A．       B．      C．    D．10、已知正方体的棱长为1，若点在正方体的内部，且满足，则平面与平面所成二面角的余弦值为（  ）A.     B.     C.     D. 11、在直三棱柱ABC-A'B'C'中,所有的棱长都相等,M为B'C'的中点,N为A'B'的中点,则AM与BN所成角的余弦值为(    )A．     B．     C．     D． 12、已知空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角为（   ）A．    B．    C．    D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．（1） 平面平面                （2）四面体的体积是（3）二面角的正切值是      （4）与平面所成角的正弦值是14、理已知0，，，与的夹角为，则______．15、如图，在正三棱柱中， 分别是 的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．16、已知点是的重心,是空间的任意一点,若,则的值为          .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为的所有向量.(3)试写出与相等的所有向量.(4)试写出的相反向量.18、（本小题满分12分）在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.19、（本小题满分12分）已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.20、（本小题满分12分）如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点),M是的中点,N是BD的中点.(1) 如果AE＝C1F,试证明B、E、D1、F四点共面;(2) 在(1)条件下,是否存在点E 的一个位置,使得直线MN和平面BFE的距离是？21、（本小题满分12分）先观察不等式（、、、）的证明过程：设平面向量，，则，，.∵，∴，∴，再类比证明：.22、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.（1）求直线与所成角的余弦值（2）在侧面内找一点，使，并求出点到和的距离.
参考答案1、答案A2、答案C3、答案C4、答案B5、答案A根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果.详解因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A6、答案C根据顶点的坐标，分别向三个坐标平面正投影，找出正投影的图形形状、边长等，从而解出三个图形的面积，进而比较大小。详解解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；所以得，故选C。7、答案B，所以，转化为求二次函数的最小值，最小值，所以8、答案D分析假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面．详解对于A，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1，1，0）=x（0，1，1）+y（1，0，1）=（y，x，x+y）；∴，此方程组无解，∴、、三向量不共面；同理，C、D中三向量也不共面；对于B，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1、1、0）=x（0、1、1）+y（1、0、﹣1）=（y、x、x﹣y）；∴，此方程组有唯一的解，∴、、三向量共面．故选：D．9、答案B点M关于y轴的对称点坐标y坐标不变，x,z坐标互为相反数，所以对称点为10、答案B过作交于，作平面，垂足为.由三垂线定理可知，所以为所求二面角的平面角，且，故..11、答案B以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用求出与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可求得异面直线所成角的余弦值.详解以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直三棱柱中,所有的棱长都为2,则，，设与所成角为，则，故选B.12、答案A由题意，根据空间向量的夹角公式，求得，即可得到直线与平面所成角，得到答案。详解由题意，空间向量，平面的一个法向量为，所以根据空间向量的夹角公式，可得，，即则直线与平面所成角，故选A。13、答案（3）（4）画出图像，由图像判断（1）是否正确；计算的体积来判断（2）是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断（3），（4）是否正确.详解画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误.由于，故是二面角的平面角且平面，故.过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高.在原图中，，,,,，所以，故（2）错误.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故（3）判断正确.平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确.综上所述，正确的有（3），（4）.14、答案解：0，，，，，．与的夹角为，，化为，，．故答案为：．利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．15、答案以E为原点，EA,EC为x,y轴建立空间直角坐标系，设，用空间向量法求得t，进一步求得BD.详解以E为原点，EA,EC为x,y轴建立空间直角坐标系，如下图。解得t=1，所以，填。16、答案317、答案：：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.详解(1)模为1的向量有,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为.(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.(4)向量的相反向量为.18、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.详解,在图中表示如下图所示。19、答案（1）；（2）或详解(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos<>=.于是sin<>=.故以为邻边的平行四边形的面积为S=||||sin<>=14×=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).20、答案(1) 证明:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立空间直角坐标系.则B(1,0,0),D1(0,1,1),E(0,0,t),F(1,1,1－t),其中0≤t≤1,则＝＝(－1,0,t),所以BE∥FD1,所以B、E、D1、F四点共面.(2) 解:＝(－1,0,t),＝(0,1,1－t),可求平面BFE的法向量n＝(t,t－1,1);,,得,无解所以,不存在这样的位置.21、答案见试题证明：设空间向量，，则，，，∵，∴，∴．22、答案（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标分别为，，，，，，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为.（2）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由平面可得， 化简得 ∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.