2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷（全国通用）

这是一份2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷（全国通用），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知＝(2，－3,1)，则下列向量中与平行的是( )
A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5)D．(－2，－3,5)
2、在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3、过点A(-2,1,3),且与面xy垂直的直线上点的坐标满足（ ）
(A) x=-2 (B)y=1 (C) x=-2或y=1 (D) x=-2且y=1
4、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、已知，若，则（ ）
A．1 B．4 C．-1 D．-4
6、点P（1,3,-5）关于原点的对称点的坐标是（ ）
（A）（-1,-3,-5）
（B）（-1,-3,5）
（C）（5,-3,-1）
（D）（-3,1,5）
7、点位于（ ）
A. B. C. D.
8、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则（ ）
A． B． C． D．
9、
已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（ ）。
A． 若，则必有 B． 若，则必有
C． 若，则必有 D． 若，则必有
10、与向量平行的一个向量是（ ）
A． B． C． D．
11、在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
12、已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在平行六面体中，化简的结果为__________
14、正方体中，棱长为，则直线与的距离为__________．
15、如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是________．
16、在边长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=，AD=，EF=2.
（1）求证： AE∥平面DCF；
（2）设，当为何值时，二面角A—EF—C的大小为.
18、（本小题满分12分）(本小题满分12分)
如图(1)，在正方形中，分别是的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使三点重合于点.
证明：（ 1）在平面上的射影为的垂心；（2）求二面角的正弦值.

19、（本小题满分12分）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
20、（本小题满分12分）已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a分别与向量垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
21、（本小题满分12分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：是平面B1D1C的法向量．
22、（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
参考答案
1、答案B
利用向量共线定理即可得出．
详解
解：若（﹣4，6，﹣2），则2（2，﹣3，1）＝﹣2，所以∥．
故选：B．
2、答案C
通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.
详解
由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.
故答案为：C.
3、答案D
4、答案B
5、答案D
6、答案B
7、答案C
8、答案D
9、答案C
详解：对于选项A,平面和平面还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B, 平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C,因为所以.所以选项C正确；对于选项D,直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误.故答案为：C.
10、答案C
由题意可得： ，即，满足向量平行的充要条件.
本题选择C选项.
11、答案B
由题设所给坐标可得球心的坐标为,故球的半径,所以球的面积为,应选B.
考点空间坐标距离和球的面积公式的运用.
12、答案C
如图所示：
本题选择C选项.
13、答案
14、答案
建立空间坐标系，，，，
设，公垂线的向量
由，得，
15、答案
根据题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数，求出二次函数在某区间上求值域即可。
详解
在直角三角形中，过点作边上的高交于，
直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，
平面，
在平面内过点作边的垂线，所以，，，
以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
为直角，,为的中点，且,
,, ,,
，，，，，，
，，，
又 ，则 ，即，
化简即可得到： ，由于，则 ，所以 ，
，
把 代入即可得到：，
当，的范围为 ，所以的取值范围是，
故答案为。
16、答案
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：，
设，其中，
则，
，
据此可得：，
由空间中两点之间距离公式可得：
当时，，当时，，
结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.
17、答案由条件：
18、答案证明：（1）设在平面上的射影为点，则.
折前、，折后、，，……2分
，，，……5分
,，同理，，为的垂心. ……6分
(2)
（2）过作交于点，连，则即为所求二面角的平面角. ……7分
,又，,
， ，为所求二面角的平面角. ……9分
设正方形的边长为1，则在中， ……10分
又,，二面角的正弦值为.……12分
19、答案（1）或；（2）或
，解之即得的值，即得＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．再求出点P的坐标.
详解
(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
20、答案（1）；（2）或
详解
(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||=,||=,cs∠BAC==,∴∠BAC=60°,
∴S=||·||sin∠BAC=7.
(2)设向量a=(x,y,z),则由a·=0,a·=0,|a|=,得
∴或
∴a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).
21、答案证明 如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)．
所以＝(－1，1，1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，1)，
所以·＝(－1，1，1)·(1，1，0)＝0，
·＝(－1，1，1)·(1，0，1)＝0，
所以⊥，⊥，
又B1D1∩CB1＝B1，
所以是平面B1D1C的法向量．
22、答案：：（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．
试题（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD
（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=
而BD=，所以PD=1
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）
所以，，1）
设平面PBC的法向量为，∴…
即可解得）
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…