2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

2021届二轮（理科数学） 立体几何   专题卷 （全国通用）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ）

A．    B．    C．    D．

2、已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（   ）

(A) 直角三角形  （B）锐角三角形   （C）钝角三角形   （D）斜三角形

3、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（     ）

A． B．

C． D．

4、平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(　　)

A．(，－1，－1)         B．(6，－2，－2)

C．(4,2,2)                D．(－1,1,4)

5、
如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（    ）。

A．     B． 4    C．     D．

6、在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则（   ）

A． B． C． D．

7、如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A．    B．    C．    D．

8、如图，F是正方体的棱CD的中点．E是上一点，若，则有(    )

A．    B．   C．    D．E与B重合

9、已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（  　）

A． B． C． D．

10、以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.

(1),； (2),；

(3),； (4),

A．一组 B．二组 C．三组 D．四组

11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值为(　　)

A．     B．     C．     D．

12、已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．

14、在空间直角坐标系中，点，则__________；点到坐标平面的距离是__________．

15、在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则面SCD与面SBA所成的二面角的正切值为______．

16、正方体中, 是棱的中点, 是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是2,则的轨迹被正方形截得的线段长是________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、（本小题满分10分）已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

18、（本小题满分12分）在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.

19、（本小题满分12分）已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

(1)若,求点D的坐标;

(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.

20、（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

21、（本小题满分12分）已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求出此时的|AB|．

22、（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形，，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

参考答案

1、答案C

通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.

详解

由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.

故答案为：C.

2、答案A

3、答案D

根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可。

详解

对于，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，

对于：满足：

，是共面向量，不能构成空间的一个基底，

故选D

4、答案D

设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与 (或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.

5、答案C

详解：由三视图，该三棱锥是倒置的三棱锥，，

故选D.

6、答案D

以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，分别求出点的坐标及向量的坐标，利用向量加法表示出，列出对应的方程组，解方程组即可得到，问题得解。

详解

如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，

则,,,,,

,,,,

因为点在平面内，可设（其中为常数），

又与共线，可设，由图可得：

,

即：，

整理得：，

由（1）（3）可得：，即：

由（2）（3）可得：，即：，

联立（4）（5）解得：，代入（2）可得：

，整理得：，

所以.

所以.

故选：D.

7、答案D

以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.

详解

以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则可得，

，

设异面直线与所成的角为,

则，故选D.

8、答案A

由题意，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，根据向量的数量积等于0，求得，即可求解.

详解

由题意，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，

设E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，

，∴，∴，故选A.

9、答案C

如图所示：

本题选择C选项.

10、答案B

四组向量中(2)中满足，(3)中满足，所以两向量平行

11、答案B

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,利用向量法求sin<>的值.

详解

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,

∴=(1,1,1),,

∴cos<>==,

∴sin<>=.

故答案为：B

12、答案AC

根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．

详解

设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．

故，而，所以或．

故选：AC．

13、答案

依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，所以向量的坐标为.

详解

解：依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，即，

所以向量的坐标为．

故填：．

14、答案  3  1

根据空间坐标系中两点间的距离公式，

得：|OA|==3.

∵A（1，2，2），

∴点A到平面yoz的距离=|1|=1.

故答案为：3，1

15、答案

建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)、D(，0，0)、C(1，1，0)、S(0，0，1)，面SAB的一个法向量是＝(，0，0)，设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，

则n⊥，

n⊥，n·＝0，n·＝0，

又＝(，1，0)，＝(－，0，1)

∴x＋y＝0且－x＋z＝0，

∴y＝－x且z＝x，∴n＝(x，－，)，

取x＝1，得n＝(1，－，)．

∴cos〈，n〉＝＝＝.

设二面角为θ，即cosθ＝.∴tanθ＝.

16、答案

建立如所示的坐标系,则,设,平面的法向量为,则,所以,即,令,则,所以.又因为平面,所以,即,也即,所以.由于是平面的一个法向量,且,所以,记与平面所成角为,则,所以,因为,所以.

易错点晴本题考查是空间向量在立体几何中的运用和计算问题,求解时先依据题设条件构建出空间坐标系, 先设平面的法向量为,利用法向量与平面垂直求出.再借助平面,求出.最后借助数量积公式建立的线面角的正切求出其范围是.

17、答案（1）；（2）或

详解

(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

18、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.

详解

,在图中表示如下图所示。

19、答案（1）；（2）

详解

(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).

因为,

所以

解得即D(-1,1,2).

(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).

假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),

所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.

20、答案(1) 证明：因为四边形与均为菱形，所以，.

因为，，所以，

又，，，

所以，又，

所以

(2) 连接、,因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为中点.所以，又因为为中点,且，所以

又，所以

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

设，因为四边形为菱形，，

则，，，

所以

所以设平面的一个法向量为，

则有,所以，令，则

因为，所以平面的一个法向量为

因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为

则

所以二面角的余弦值为

21、答案：：求出||，利用二次函数的性质，即可得出结论．

详解

∵A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），

∴||==，

∴当||取最小值时，x的值等于．

当x＝时，|AB|有最小值，

此时A．

22、答案（1）见；（2）二面角的余弦值为；（3）.

详解：（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，

且为中点，

∵，∴,

又，

∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，

∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形，，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴，

设平面的法向量为，则

令，得

设平面的法向量为，则，

令，得

所以

又因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为

（3）设

所以

化简得

解得：

所以.