2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

 2021届二轮（理科数学） 立体几何  专题卷 （全国通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、点位于（　　）                       A．    B．      C．       D．2、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（   ）A．1              B．2              C．3              D．43、以下命题中,不正确的命题个数为(　　)①已知A、B、C、D是空间任意四点,则A＋B＋C＋D＝0②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若O＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.A.0 B.1  C.2 D.34、在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ）A．    B．    C．    D．5、已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（   ）(A) 直角三角形  （B）锐角三角形   （C）钝角三角形   （D）斜三角形6、在空间直角坐标系中，点过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为(　　)7、如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（     ）A.     B.     C.     D. 8、已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(  )A．30°      B．60°C．120°     D．150°9、如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是 A.     B. C.     D. 10、已知向量，，以为邻边的平行四边形的面积（    ）A. B. C.2 D.111、在空间直角坐标系中，已知，，则（    ）A.     B. 2    C.     D. 12、 四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（      ）A.             B. 46                C.             D. 32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、在正方体中，与面所成的角是______．14、已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是__________．15、已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________.16、在边长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为的所有向量.(3)试写出与相等的所有向量.(4)试写出的相反向量.18、（本小题满分12分）在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.19、（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2, AD = 3, E为CD中点，三棱 锥A1-AB1E的体积是6.(1) 设P是棱BB1的中点，证明：CP//平面AEB1;(2) 求AB的长；(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.20、（本小题满分12分）在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．21、（本小题满分12分）如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.22、（本小题满分12分）四棱锥的底面ABCD为直角梯形，，，，为正三角形．Ⅰ点M为棱AB上一点，若平面SDM，，求实数的值；Ⅱ若，求二面角的余弦值．
参考答案1、答案C2、答案B3、答案B4、答案C通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.详解由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.故答案为：C.5、答案A6、答案D7、答案B，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，则，设异面直线和所成的角为，则，所以异面直线和所成的角为，故选B.8、答案C设，由代入坐标得9、答案A平行六面体的性质可得： ，则 ，故选A.10、答案A先由向量夹角公式，求出的夹角余弦值，从而得到正弦值，再由三角形面积公式，即可求出结果.详解因为，，所以，所以，因此以为邻边的平行四边形的面积为故选A11、答案B,故选：B12、答案C由,.由底面为矩形得；，，另；，,13、答案以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与面所成的角．详解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，，设平面的法向量，则，取，得，设与面所成的角是α，则，，∴与面所成的角是．故答案为：．14、答案根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.详解间的球面距离为        同理可得：    所在小圆的半径：设    四点共面若取最大值，则需取最小值最小值为球心到所在平面的距离本题正确结果：15、答案如图，建立直角坐标系D-xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.16、答案建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：，设，其中，则，，据此可得：，由空间中两点之间距离公式可得：当时，，当时，，结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.17、答案：：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.详解(1)模为1的向量有,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为.(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.(4)向量的相反向量为.18、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.详解,在图中表示如下图所示。19、答案20、答案（1）解法一：建立坐标系如图 平面的一个法向量为   因为，，可知直线的一个方向向量为． 设直线与平面成角为，与所成角为，则    解法二：平面，即为在平面内的射影，故为直线与平面所成角，在中， ,         （2）解法一：建立坐标系如图．平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则 由图知二面角为锐二面角，故其大小为． 解法二：过作平面的垂线，垂足为，即为所求，过作的垂线设垂足为，∽即    在中           所以二面角的大小为．      21、答案(1)详见(2)(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角,过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等四边形和四边形均为菱形分别为中点四边形和四边形为矩形且又且底面底面.(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.底面且底面面面又面四边形为菱形又且,面面又面又且,面面为二面角的平面角,则且四边形为菱形,,则再由的勾股定理可得,则,所以二面角的余弦值为.法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,所以,,故二面角的余弦值为.22、答案（1）（2）详解Ⅰ平面平面ABCD，平面平面，，，四边形BCDM为平行四边形，又，为AB的中点．，．Ⅱ，，平面SCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面SCD内过点S作直线CD于点E，则平面ABCD，在和中，，，又由题知，，，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系，则0，，0，，0，，2，，2，，0，，2，，2，，0，，设平面SAB的法向量y，，则，令，得0，，同理得1，为平面SBC的一个法向量，，二面角为钝角，二面角的余弦值为．