2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、在空间直角坐标系中，点，，则（   ）

A．3    B．4    C．5    D．6

2、点位于（　　）

A.    B.      C.       D.

3、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（     ）

A． B．

C． D．

4、已知，则（   ）

A．            B．    

C．．           D

5、 如图，在矩形ABCD中，，将沿折起，使得D折起的位置为，且在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线与平面ABC所成角的正弦值为 

A. B. C. D.

6、
如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）。

A．     B．     C．     D．

7、

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 （    ）

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

8、已知空间三点，，，若向量与垂直，则的值为(  )

A．1    B．2    C．3    D．4

9、如果三点，，在同一条直线上，则(     )

A． B．

C． D．

10、已知空间向量，若与垂直，则等于（ ）

A.     B.     C.     D.

11、空间任意四个点A、B、C、D，则等于 （  ）

　A．      B．     C．      D．

12、
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为 (     ）。

A．     B．     C．     D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且则GB与EF所成的角为________．

14、设，若，则实数的值等于__________；

15、已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝　　　.

16、，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

（1）当直线与成角时，与成角；

（2）当直线与成角时，与成角；

（3）直线与所成角的最小值为；

（4）直线与所成角的最小值为；

其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、（本小题满分10分）已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

18、（本小题满分12分）已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

(1)若,求点D的坐标;

(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.

19、（本小题满分12分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?

(2)试写出模为的所有向量.

(3)试写出与相等的所有向量.

(4)试写出的相反向量.

20、（本小题满分12分）在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.

21、（本小题满分12分）已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

(1)a，b，c；

(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值．

22、（本小题满分12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D﹣ABCE，在图2中解答以下问题：

（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；

（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

参考答案

1、答案A

由两点间距离公式，可直接求得的值。

详解

根据空间两点间距离公式可得

所以选A

2、答案C

3、答案D

根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可。

详解

对于，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，

对于：满足：

，是共面向量，不能构成空间的一个基底，

故选D

4、答案C

5、答案B

解：设在平面ABC的射影为O，

由题意，平面，，

，，

，

，

，

由等面积可得，，

直线与平面ABC所成角的正弦值为，

故选：B．

设在平面ABC的射影为O，求出，即可求出直线与平面ABC所成角的正弦值．

本题考查直线与平面ABC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求出是关键．

6、答案D

详解：由三视图可知，该几何体可看成：在一个长方体上方叠加半个圆锥，下方截去一个三棱锥，所以该几何体的体积为：

故选：D

7、答案A

由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，

cos〈 ，n〉＝，

〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.

8、答案B

用点坐标表示出向量与，由向量垂直得到向量点乘等于零，计算出的值

详解

，，，

,

向量与垂直，

则

即：

,

解得

故选

9、答案A

由三点共线可知为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.

详解

三点共线    为共线向量

又，

，解得：，

本题正确选项：

10、答案D

由题意可得 ，又因为与垂直，所以，即 ，所以得 ，所以 ，即 ，故本题正确答案为D。

11、答案C

12、答案A

详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)，

则,，

由于GD⊥EF，

所以，

所以，

故，

所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．

故选A．

13、答案90°

　如图建立直角坐标系Dxyz，

设DA＝1，由已知条件

14、答案0或1

15、答案-1

16、答案（1）（3）

由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

详解

由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，

直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量为（cosθ，sinθ，﹣1），||，

设与所成夹角为α∈[0，]，

则cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴（3）正确，（4）错误．

设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α，

|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，

∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，

∴（1）正确，（2）错误．

故答案为：（1）（3）．

17、答案（1）；（2）或

详解

(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

18、答案（1）；（2）

详解

(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).

因为,

所以

解得即D(-1,1,2).

(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).

假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),

所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.

19、答案：：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.

详解

(1)模为1的向量有,共8个单位向量.

(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为

.

(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.

(4)向量的相反向量为.

20、答案：：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).

设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

则计算即可.

详解

证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).

设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.

21、答案(1)因为a∥b，所以

解得x＝2，y＝－4，

这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．

又因为b⊥c，

所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，

解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．

(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，

设(a＋c)与(b＋c)夹角为θ，因此

22、答案(1) （2）

（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB

因为DAE为等边三角形，所以DH⊥AE

因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE平面ABCE=AE

所以DH⊥平面ABCE，

因为AC平面ABCE

所以AC⊥DH…（2分）

因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a

所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE

因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE

所以AC⊥HF…（4分）

因为HF平面DHF，DH平面DHF，且HFDH=H

所以AC⊥平面DHF，又DF平面DHF

所以DF⊥AC…（6分）

（Ⅱ）解：连接BH，EB

由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE

由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴

建立空间直角坐标系，如图所示

则

所以，

设面DCB的法向量为，则

不妨设…（8分）

设面DAB的法向量，又

则，取…（10分）

所以

所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…（12分）