2021年中考数学专题复习 专题04 实数和二次根式的运算（学生版）

专题04  实数和二次根式的运算

一、实数

1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。

3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等。

4.．算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。

5．平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。

6．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，；负数没有平方根。

7．一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a 的三次方根）。

8．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。             

二、二次根式

1．二次根式的定义：形如式子（≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0

3.二次根式的性质

（1）是非负数；

（2）（）2= （≥0）；   

（3）

（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，

即 = · （a≥0,b≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即

= （a≥0,b>0）。反之，

 三、分母有理化

1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；  ⑶分母中不含根式。

2．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

4．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

6．找有理化因式的方法：

（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：① 的有理化因式为 ，② 的有理化因式为 。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ，的有理化因式为

四、二次根式的运算

1．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
（3）合并同类二次根式

2． 二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

（≥0，≥0）。

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即

（≥0，＞0）。

【例题1】（2020•湖州）数4的算术平方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．

【对点练习】（2020•泰州）9的平方根等于　  　．

【例题2】（2020•台州）无理数在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

【对点练习】（2019•甘肃庆阳）下列整数中，与最接近的整数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【例题3】（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π）0．

【答案】1

【解析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

原式＝﹣4+9+1﹣5＝1．

【对点练习】（2020嘉兴模拟）计算：   

【例题4】（2020•哈尔滨）计算6的结果是　  　．

【对点练习】（2019•山东省聊城市）下列各式不成立的是（　　）

A．﹣＝ B．＝2 

C．＝+＝5 D．＝﹣

【例题5】（2020•滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　   　．

【对点练习】（2019•甘肃）使得式子有意义的x的取值范围是（　　）

【例题6】（2020•凉山州）下列等式成立的是（　　）

A．±9 B．|2|2 

C．（）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1

【对点练习】(2019•湖南益阳)观察下列等式：

①3－＝(－1)2，

②5－＝(－)2，

③7－＝(－)2，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式          　．

【例题7】（2019•山东威海）计算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的结果是（　　）

A．1+ B．1+2 C． D．1+4

【对点练习】（2019•广东）先化简，再求值： ，其中x=．

一、选择题

1．（2020•达州）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）

A．3.14 B． C． D．

2.（2019•四川省达州市）下列判断正确的是（　　）

A．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0 

C．＝     D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长

3.（2019湖南常德）下列运算正确的是（　　）

A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝

4.（2019•山东省济宁市 ）下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6

5.（2019湖南益阳）下列运算正确的是（　　）

A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝

6.（2019•湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．﹣

二、填空题

7．（2020•河南）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　　   ．

8．（2020•南充）计算：|1|+20＝　　   ．

9．（2020•自贡）与2最接近的自然数是　　    ．

10．（2020•重庆）计算：（）﹣1　　  ．

11．（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有　   　个．

12．（2020•宁波）实数8的立方根是　    　．

13．（2020•凤山县一模）计算：1＝　   　．

14．（2020•泰州）9的平方根等于　  　．

15．（2020•河南）请写出一个大于1且小于2的无理数　　    ．

16．（2020•遵义）计算：的结果是　　．

17.（2019•山东省滨州市 ）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝　    　．

18.（2019•江苏扬州）计算：（﹣2）2018（+2）2019的结果是　   　．

19.(2019•四川绵阳)单项式x-|a-1|y与2xy是同类项，则ab=______．

20.（2019贵州遵义）计算 的结果是                  

21.（2019•南京）计算﹣的结果是　  　．

22.（2019宁夏）计算：          ．

23.（2019•广东广州）代数式有意义时，x应满足的条件是　    　．

24．（2019•山东临沂）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝________．

25.（2019山东枣庄）观察下列各式：

＝1+＝1+（1﹣），

＝1+＝1+（﹣），

＝1+＝1+（﹣），

…

请利用你发现的规律，计算：

+++…+，

其结果为　      　．

三、解答题

26．（2020•泸州）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．

27．（2020•连云港）计算（﹣1）2020+（）﹣1．

28．（2020•苏州）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3）0．

29．（2020•河南）先化简，再求值：（1），其中a1．

30．（2020•成都）先化简，再求值：（1），其中x＝3．

31．（2020•哈尔滨）先化简，再求代数式（1）的值，其中x＝4cos30°﹣1．

32.（2019贵州遵义）计算2sin60°+

33.（2019年陕西省）计算： ．

34.（2019湖北荆州）已知：a＝（1）（1）+|1|，b2sin45°+（）﹣1，求b﹣a的算术平方根．