2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法（学生版）

专题45 待定系数法

1.待定系数法的含义

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用

(1)分解因式

    待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。  

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

(2)求函数解析式

初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，

y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：

a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；

b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

(3)解方程

例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．

(4)分式展开

首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。

【例题1】(2020•上海)已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　)

A．y B．y C．y D．y

【对点练习】(2020乌鲁木齐模拟)如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是(　　)

A． 2       B． 3         C． 5          D． 7

【例题2】(2020•遂宁)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═(k≠0)于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

(1)求双曲线y(k≠0)和直线DE的解析式．

(2)求△DEC的面积．

【对点练习】(2019湖北黄冈)如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣2，2)，B(﹣2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒)．

(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；

(3)当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

一、选择题

1.(2020•乐山)直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是(　　)

A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4

2．(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣4，0)，B(﹣2，﹣1)，C(3，0)，D(0，3)，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为(　　)

A．y＝x+ B．y＝x+ C．y＝x+1 D．y＝x+

3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是(　　)

A．300m2       B．150m2       C．330m2       D．450m2

4. 已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则a的取值范围是(    )

A.a≤－1     B.a≤－1，且a≠－2    C.a≤1，且a≠－2    D.a≤1

5.(2019•浙江绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于(　　)

A．﹣1 B．0 C．3 D．4

二、填空题

6.(2020年浙江金华模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为(6，8)，则点F的坐标是      

7.若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为(0,－3).则这个二次函数的表达式为________．

三、解答题

8．(2020•苏州)某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y(元)与销售量x(kg)之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：

(1)截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？

(2)求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．

9．(2020•陕西)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

10．(2020•河北)表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．

(1)求直线1的解析式；

(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算)，并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

(3)设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

11.已知：，求A、B、C的值。

12．〔2020上海模拟〕某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y〔万元/吨〕与生产数量x〔吨〕的函数关系式如下图、

〔1〕求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

〔2〕当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量。

〔注：总成本=每吨的成本×生产数量〕

13．(2019辽宁抚顺)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n交于B(0，4)，C(3，1)两点．直线y＝mx+n与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO．

(1)求抛物线的解析式

(2)如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标；

(3)如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MN∥PA时，直接写出点P的坐标．

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1(m＞0)与x轴的交点为A，B．

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．