2021年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用（教师版含解析）

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专题12 韦达定理及其应用

1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：
(1)验根；
(2)已知方程的一根，求另一根；
(3)求某些代数式的值；
(4)求作一个新方程。

【例题1】(2020•泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　　．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解析】根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝(x1+x2)2+2x1x2＝16﹣14＝2
【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为(　　)
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12
【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　 　．
【答案】-2
【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．
【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，
∴x1•x22．
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．
【对点练习】 已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5
【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：

解得：

【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
【对点练习】(2019年湖北省荆门市)已知x1，x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，则k的值为　　．
【答案】1
【解析】根据根与系数的关系结合(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
∵x1，x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣(3k+1)，x1x2＝2k2+1．
∵(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，即x1x2﹣(x1+x2)+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝(3k+1)2﹣4×1×(2k2+1)＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
【例题3】(2020•随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2＝0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据根的判别式得出△＝(2m+1)2﹣4×1×(m﹣2)＝4m2+9＞0，据此可得答案；
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣(2m+1)，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解析】(1)∵△＝(2m+1)2﹣4×1×(m﹣2)
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣(2m+1)+3(m﹣2)＝1，
解得m＝8．
【对点练习】(2019▪湖北黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)＝0有实数根，
∴△＝(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0，
解得：m≤2．
(2)∵方程x2﹣6x+(4m+1)＝0的两个实数根为x1.x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
【例题4】(2020湖北黄石模拟)已知方程的两根，求作以为两根的方程。
【答案】
【解析】由题意



故所求方程是：

即
【对点练习】(2019山东淄博模拟)若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【答案】A．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
∵x12+x22＝5，
∴(x1+x2)2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．


一、选择题
1. (2019•江苏泰州)方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2则x1+x2等于(　　)
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C．
【解析】根据根与系数的关系即可求出答案．
由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
2. (2019•广东)已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．x1≠x2   B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2    D．x1·x2=2
【答案】D
【解析】因式分解x(x-2)=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.
3.(2019•广西贵港)若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，
则m等于(　　)
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B．
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入可求解；
α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3
二、填空题
4．(2020•内江)已知关于x的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　 　．
【答案】．
【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，解出方程的根即可．
【解析】把x＝﹣1代入原方程得，
(m﹣1)2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，
解得，m＝4，m＝1(不合题意舍去)，
当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，
解得，x1＝﹣1，x2=-1/3
5.(2019年江西省)设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　　 ．
【答案】0
【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．直接根据根与系数的关系求解．
∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
6.(2019年四川攀枝花)已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝　　 ．
【答案】6
【解析】根据根与系数的关系变形后求解．
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣1，
∴x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1x2＝22﹣2×(﹣1)＝6．
7.(2019年四川成都)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为　　 ．
【答案】-2
【解析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3(k﹣1)＝13
8.(2019四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则(x1+4)(x2+4)的值是　　．
【答案】16
【解析】考查一元二次方程根与系数的关系
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴(x1+4)(x2+4)
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4(x1+x2)+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16
三、解答题
9．(2020•鄂州)已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且x1x2﹣4，求实数k的值．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案．
(2)根据根与系数的关系即可求出答案．
【解析】(1)△＝16﹣4(k+1)＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
(2)由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵x1x2﹣4，
∴x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由(1)可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
10．(2020•南充)已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得等式k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合k﹣2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．
【解析】(1)∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×(k+2)≥0，
解得：k≤﹣1．
(2)∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵k﹣2，
∴k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1，k2．
又∵k≤﹣1，
∴k．
∴存在这样的k值，使得等式k﹣2成立，k值为．
11. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.
【答案】见解析。
【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得k的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得k的值.
(1)当k＝0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k≠0时,方程是一元二次方程,由题意得＝9－4k≥0,∴k≤,综上所述,k的取值范围是k≤.
(2)∵x1和x2是该方程的两个实数根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴+＝4,解得k＝1,经检验,k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值为1.
12.(2019孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)若a为正整数，求a的值；
(2)若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【答案】(1)a＝1，2(2)a＝﹣1．
【解析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到
△＝[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)＞0，于是得到结论；
根据x1+x2＝2(a﹣1)，x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
(2)∵x1+x2＝2(a﹣1)，x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴(x1+x2)2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2(a﹣1)]2﹣3(a2﹣a﹣2)＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1
13.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
【答案】2
【解析】由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。
由题意，为的两个不等实根
因而有
又

14. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
【答案】0或 -5
【解析】设方程两根α、β，方程的两根，则有：

由
当时，代入
当时，由
代入
则
代入
把代入<2>中，
或