2021年中考数学专题复习 专题14 角平分线问题（教师版含解析）

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专题14 角平分线问题

1.角的平分线定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.

2.作角平分线
角平分线的作法(尺规作图)
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
  
3.角平分线的性质
(1)定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.

(2)逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.

注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.

说明：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
(1)三角形的角平分线是线段；
(2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
(3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
4.角平分线的综合应用
(1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
(2)在解决综合问题中的应用．

【例题1】(2020•襄阳)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是(　　)

A．132° B．128° C．122° D．112°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG=12∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．
【对点练习】(2020长春模拟 )如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为(　　)

A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C．
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．
∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。
【例题2】(2020•随州)如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　 　．

【答案】30°．
【解析】先根据圆周角定理得到∠BAC=12∠BOC＝60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD的度数．
∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
【对点练习】(2019四川自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 ．

【答案】．
【解析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABE，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴CE＝AC＝×8＝3，
BE＝，
DE＝BE＝×＝
【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。
【例题3】(2020•金华)图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD(点A与点B重合)，点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　 　cm．
(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时，A，B两点的距离为　 　cm．

【答案】(1)16 (2)6013．
【分析】(1)当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．
(2)如图3中，连接EF交OC于H．想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：(1)当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，
∵OE＝OF＝1cm，
∴EF＝2cm，
∴AB＝CD＝2cm，
∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16(cm)，
故答案为16．
(2)如图3中，连接EF交OC于H．

由题意CE＝CF=25×6=125(cm)，
∵OE＝OF＝1cm，
∴CO垂直平分线段EF，
OC=CE2+OE2=(125)2+12=135(cm)，
∵12•OE•EC=12•CO•EH，
∴EH=1×125135=1213(cm)，
∴EF＝2EH=2413(cm)
∵EF∥AB，
∴EFAB=CECB=25，
∴AB=52×2413=6013(cm)．
故答案为6013．
【对点练习】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．

【答案】见解析。
【解析】证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB OP=OP
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。

一、选择题
1．(2020•乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝(　　)

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG可得结果．
【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°
2．(2020•福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　　)

A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
3.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE^AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )
A.15 B.12 C.9 D.6
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．
∵BC=9，BE=3，
∴△BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．
4．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵DE⊥BD，
∴OC∥ED，
∵DE＝6，
∴OC＝，
∵▱ABCD的面积为24，
∴，
∴BD＝8，
∴＝＝5，
设CF＝x，则BF＝5+x，
由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣(5+x)2＝52﹣x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴sin∠DCE＝．
故选：A．
5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(　　)

A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】B．
【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
A．利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
C．利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D．利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。
6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=(　　)

A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A．
【解析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°
7．(2019山东滨州)如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分∠CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM＝1，则线段DN的长是多少(　　)

A．1.5 B．2 C． D．2
【答案】B．
【解析】作NE⊥BD于E，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠ODC＝45°，OB＝OD，BC＝DC，
∴△DEN是等腰直角三角形，
∴DE＝NE，DN＝NE，
∵BN平分∠CBD，
∴NE＝NC，
∴NE＝NC＝DE，
设NE＝NC＝DE＝x，
则DN＝x，∴DC＝x+x，
∴BD＝DC＝2x+x，BE＝BD﹣DE＝x+x，
∴OB＝BD＝x+x，
∵NE⊥BD，
∴NE∥AC，
∴△BOM∽△BEN，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴DN＝x＝2
8.(2019陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为( )

A.2+ B. C.2+ D.3
【答案】A
【解析】

过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=，故选A
9．(2019内蒙古)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是(　　)

A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
二、填空题
10．(2020•扬州)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为　 　．

【答案】27．
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM＝GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．
【解析】如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，

根据作图过程可知：
BG是∠ABC的平分线，
∴GM＝GN，
∵△ABG的面积为18，
∴12×AB×GM＝18，
∴4GM＝18，
∴GM=92，
∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．


11．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=　 　．

【答案】4cm．
【解析】∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠CBD，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴CD=BD，∠A=∠ABD，
∴AD=BD=8cm，
∴CD=4cm
12.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　 　．

【答案】3．
【解析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
过C作CF⊥AO，

∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，∴CF=3，
13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　 　度．

【答案】24．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2(∠C+19°)+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
14．(2019内蒙古通辽)如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　 　．

【答案】．
【解答】∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE(ASA)
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，∴64+AB2＝4AB2，
∴AB＝
15．(2019宁夏)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　 　．

【答案】．
【解析】由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
=
三、解答题
16．(2020•泸州)如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．

【答案】见解析。
【解析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴BC＝CD．
17．(2020•武汉)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
(1)求证：AD平分∠BAE；
(2)若CD＝DE，求sin∠BAC的值．

【答案】见解析。
【分析】(1)连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；
(2)连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y：(x+y)，然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．
【解析】(1)证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；
(2)解：连接BD，如图，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，
∵sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，
而DE＝DC，∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：(x+y)，
整理得x2+xy+y2＝0，解得x=-1+52y或x=-1-52y(舍去)，
∴sin∠3=DCBC=5-12，
即sin∠BAC的值为5-12．





18.已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．

【答案】见解析。
【解析】证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，
且DE＝DC．

(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．
(2)∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．
20.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC=∠CEB=90°.
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴∠DCB=∠EBC.
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.
(2)点O是在∠BAC的角平分线上.
理由：连接AO.
∵△BDC≌△CEB，
∴DC=EB,CE=BD.
∵OB=OC，
∴OD=OE.
又∵∠BDC=∠CEB=90°，AO=AO，
∴△ADO≌△AEO(HL).
∴∠DAO=∠EAO.
∴点O是在∠BAC的角平分线上.
21.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．

【答案】见解析。
【解析】证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，
∴CD＝CE，
∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AC＝BC．
22.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.

(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45°.
由∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠EDC，
∴DE平分∠BDC.
(2)证明：连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴EM=AD=DB.
23. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．

【答案】见解析。
【解析】由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．
能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长。
过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，∴AE＝BC．
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．
24.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD^OA交OA于点D，PE^OB交OB于
点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．

【答案】见解析。
【解析】证明：∵点P在∠AOB的平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°.
∴∠DPF=90°-∠DOP，∠EPF=90°-∠EOP，
∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF和△EPF中，
∴△DPF≌△EPF(SAS) ∴DF=EF．
25.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

求证：(1)OC平分∠ACD；(2)OA^OC；(3)AB+CD=AC．
【答案】见解析。
【解析】证明：

(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠ABD=90°，OA平分∠BAC，
∴OB=OE.
∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，且OE⊥AC,OD⊥CD,
∴OC平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠AOB=∠AOE.
同理得出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=12×180°=90°，
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE.
同理可得CD=CE.
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【答案】见解析。
【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
(2)∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．