2021年中考数学专题复习 专题21 多边形内角和定理的应用（教师版含解析）

专题21 多边形内角和定理的应用

一、三角形

1.三角形的内角和：三角形的内角和为180°

2.三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、多边形

1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：

(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

【例题1】(2020•济宁)一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是(　　)

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】B

【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，依此列方程可求解．

【解析】设所求正n边形边数为n，

则1080°＝(n﹣2)•180°，

解得n＝8．

【对点练习】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数

为(　　)

A．7       B．7或8        C．8或9      D．7或8或9

【答案】D．

【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．

首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．

设内角和为1080°的多边形的边数是n，则(n﹣2)•180°=1080°，

解得：n=8．

则原多边形的边数为7或8或9．

【例题2】(2020•湘西州)若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是　　．

【答案】6

【解析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

设该多边形的边数为n，

根据题意，得，(n﹣2)•180°＝720°，

解得：n＝6．

故这个多边形的边数为6．

【对点练习】(2019江苏徐州)如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝　    ．

【答案】140°

【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．

多边形的每个外角相等，且其和为360°，

据此可得多边形的边数为：，

∴∠OAD＝．

一、选择题

1．(2020•北京)正五边形的外角和为(　　)

A．180° B．360° C．540° D．720°

【答案】B

【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．

【解析】任意多边形的外角和都是360°，

故正五边形的外角和的度数为360°．

2．(2020•无锡)正十边形的每一个外角的度数为(　　)

A．36° B．30° C．144° D．150°

【答案】A

【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．

【解析】正十边形的每一个外角都相等，

因此每一个外角为：360°÷10＝36°，

3．(2020•德州)如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为(　　)

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米

【答案】C

【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．

．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，

所以一共走了8×8＝64(米)．

4.若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是(　　)

A．7        B．10       C．35          D．70

【答案】C． 

【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．

由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．

∵一个正n边形的每个内角为144°，

∴144°n=180°×(n﹣2)，解得：n=10．

这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．

5．六边形的内角和是(　　)

A．540° B．720° C．900° D．1080°

【答案】B．

【解析】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：

(n﹣2)•180°(n≥3，且n为整数)

多边形内角和定理：n变形的内角和等于(n﹣2)×180°(n≥3，且n为整数)，据此计算可得．

由内角和公式可得：(6﹣2)×180°=720°

6．内角和为540°的多边形是(　　)

A             B              C                D

【答案】C．

【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列式进行计算即可求解．

设多边形的边数是n，则

(n﹣2)•180°=540°，

解得n=5．

7．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于(　)

A．108°    B．90°    C．72°    D．60°

【答案】C．

【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°(n﹣2)=540°，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．

设此多边形为n边形，

根据题意得：180(n﹣2)=540，

解得：n=5，

故这个正多边形的每一个外角等于： 360°/5=72°．

8．如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？(　　)

A．40    B．45    C．50    D．60

【答案】A．

【解析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．

延长BC交OD与点M，如图所示．

∵多边形的外角和为360°，

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．

∵四边形的内角和为360°，

∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，

∴∠BOD=40°．

9.(2019贵州铜仁)如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是(　　)

A．360° B．540° C．630° D．720°

【答案】C．

【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．

10.(2019湖南湘西州)已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是(　　)

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

【答案】D

【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。

多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，列方程可求解．

设所求多边形边数为n，

则(n﹣2)•180°＝1080°，

解得n＝8．

11．(2019湖北咸宁)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为(　　)

A．45° B．60° C．72° D．90°

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．

∵正多边形的内角和是540°，

∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，

∵多边形的外角和都是360°，

∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．

12．(2019宁夏)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是(　　)

A．6﹣π B．6﹣π C．12﹣π D．12﹣π

【答案】B．

【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，

∴正六边形ABCDEF的面积是：

＝6×＝6，

∠FAB＝∠EDC＝120°，

∴图中阴影部分的面积是：

6﹣＝，

二、填空题

13．(2020•陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　　．

【答案】144°．

【解析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．

因为五边形ABCDE是正五边形，

所以∠C108°，BC＝DC，

所以∠BDC36°，

所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°

14．(2020•烟台)已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　　．

【答案】1260°．

【解析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．

正n边形的每个外角相等，且其和为360°，

据此可得40°，

解得n＝9．

(9﹣2)×180°＝1260°，

即这个正多边形的内角和为1260°．

15.(2020大连模拟)如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　　   ．

【答案】110°．

【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．

∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，

∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，

∴∠OBC+∠OCB=70，

∴∠BOC=180﹣70=110°

16．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．

【答案】四

【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

根据题意，得(n﹣2)•180=360，

解得n=4，则它是四边形．

17.(2019海南)如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　  　度．

【答案】144．

【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠E＝∠A＝＝108°．

∵AB、DE与⊙O相切，

∴∠OBA＝∠ODE＝90°，

∴∠BOD＝(5﹣2)×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。

18．(2019江苏淮安)若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是　  　．

【答案】5

【解析】n边形的内角和公式为(n﹣2)•180°，由此列方程求n．

设这个多边形的边数是n，

则(n﹣2)•180°＝540°，

解得n＝5

19.一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.   

【答案】8   

【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.

设这个多边形边数为n，∴(n-2)×180°=360°×3，∴n=8.

三、简答题

20.(2020江苏镇江模拟)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.

(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；

(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.

【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；(2)2.

【解析】(1)根据多边形的内角和公式判定即可；(2)根据题意列方程，解方程即可.

试题解析：(1)甲对，乙不对.

∵θ=360°，∴(n-2)×180°=360°，

解得n=4.

∵θ=630°，∴(n-2)×180°=630°，

解得n=.

∵n为整数，∴θ不能取630°.

(2)由题意得，(n-2)×180+360=(n+x-2)×180，

解得x=2.