寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第三讲 相似和四边形（学生版）

 第三讲   相似和四边形

明确目标﹒定位考点

相似三角形与四边形的考查形式是一道选择题（3分），解答题通常会与一般四边形或者特殊的四边形相结合起来考查，往往分值范围在10-14分之间。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  相似与平行四边形

【例1】如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（     ）

A.8    B.9.5    C.10    D.11.5

【规律方法】题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．

【例2】已知，如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明=EG·EF

【规律方法】通过证明三角形相似得到线段间的相似比，再通过中间的线段比搭桥过渡即可。

考点2  相似与矩形

考点3  相似与菱形

【例5】如图，矩形纸片（）中，将它折叠，使点与重合，折痕交于，交于，交于，连结、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）过作交于，求证：；

（3）若，的面积为，求的值．

（第5题图）

【规律方法】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用．

考点4  相似与正方形

【例6】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求

【规律方法】首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得。

【例7】如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，

四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．

考点5  相似与梯形

【例8】 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.

【规律方法】注意分类讨论。

归纳总结﹒思维升华

1.三角形相似的条件

（1）三角形相似的预备定理  平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

(2)三边对应成比例，两三角形相似.

(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

(4)两角对应相等，两三角形相似.

2.如何寻找和发现相似三角形

两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

相似型的基本图形回顾：

（1）A型

（2）8型（也叫X型）

（3）K型

（4）双垂直型：（也叫母子型）

由Rt△DAC∽Rt△DBA∽Rt△ABC，得

AB2＝BD·BC，

AC2=CD·BC，

        AD2=BD·CD。

熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，

尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

3.相似三角形与相似多边形的性质

①相似三角形的三边对应成比例，三角对应相等.

②相似三角形的对应高之比，对应角平分线之比与对应中线之比都等于相似比.

③相似三角形周长之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方.

专题训练﹒对接中考

1.如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（　　）

   A．4         B．6       C．8          D．9

2.如图3，菱形中，，点、分别为边、上的点，且,连接、交于点，则下列结论：①≌；②；③∽；④；其中结论正确的个数是（ * ）．

A．1个     B．2个       C．3个       D．4个

3.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （　　）

A.5:3        B.3:5        C.4:3        D.3:4

4. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE， DE 和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a＞b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中结论正确的个数是（    ）

A．1个   B.2个     C.3个    D.4个

二、填空题

1.下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，则BF∶FG=_________.

2.如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的长是      ，宽是        。

3.如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上．下列结论：① CE=CF；

②∠AEB=75°；③BE＋DF=EF；④ =．

其中正确的序号是______________．（把你认为正确的都填上）

4.如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是_____cm.

三、解答题

1．如图9，现有一张边长为的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．

2 .在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。

（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点P的坐标；

（2）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数；

（3）如图②，在（1）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M不与P，O重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出线段EF的长度.

第25题图①                     第25题图②

作业

一、选择题

1.如图，平行四边形ABCD中，、、为对角线BD上三点，且B＝＝＝D，连结A并延长交BC于点E，连结E并延长交AD于F，则AD:FD等于（    ）

      A.19:2      B.9:1      C.8:1     D.7:1

               第2题图

2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则(      )

A．3S1 = 2S2      B．2S1 = 3S2         C．2S1 =S2    D．S1 = 2S2

3. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，则下列结论中：错误的是(      )

A．；  B.；   C.；   D..

二、填空题

1. 如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，电视塔的高ED为_______米。

               第2题图

2. 如图，正方形DEMF内接于△ABC，若=________

3.如图，在边长为1的正方形ABCD的一边BC上，任取一点E，作EF⊥AE交CD于点F，如果

BE＝x，CF＝y，那么用x的代数式表示y是_____________

4．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________

三、解答题

1. 已知：如图，在矩形中，=4，=8，，分别是边，上的点．若，=2，求的长；

2.如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.

(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点

 (保留作图痕迹，不写作法和证明。另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；

(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长.

3. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

4.如图，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。

（1）       证明：Rt△ABM～Rt△MCN

（2）       设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）       当M点运动到什么位置时Rt△ABM～Rt△AMN,求此时x的值。