【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）9不等式的概念、性质及解法．教师版

板块一、不等式的概念和性质

☞不等式的概念

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：

等都是不等式．

2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．

注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．

3.不等号“”和“”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“”改变方向后，就变成了“”。

【例1】         用不等式表示数量的不等关系．

（1） 是正数         （2）是非负数          （3）的相反数不大于1     

（4） 与的差是负数 （5）的4倍不小于8    （6）的相反数与的一半的差不是正数      （7）的3倍不大于的 （8） 不比0大

【解析】略．

【答案】⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．

【巩固】用不等式表示：

⑴ 的与的差大于；            ⑵ 的与的和小于；

⑶ 的倍与的的差是非负数；    ⑷ 与的和的不大于．

【解析】略．

【答案】⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．

【巩固】用不等式表示：

⑴是非负数； ⑵的倍小于； ⑶与的和大于；⑷与的和大于

【解析】注意表示不等关系的关键词语，如“非负数”、“不大于”、“不小于”、“大于或等于”、“小于或等于”

【答案】⑴；⑵；⑶；⑷

☞不等式的性质

不等式基本性质：

基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．

如果，那么

如果，那么

基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果，并且，那么(或)

如果，并且，那么(或)

基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果，并且，那么(或)

如果，并且，那么(或)

不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．

不等式的传递性：如果，，那么．

易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

②在计算的时候符号方向容易忘记改变．

【例2】         ⑴ 如果，则，是根据                            ；

⑵ 如果，则，是根据                           ；

⑶ 如果，则，是根据                                         ；

⑷ 如果，则，是根据                                     ；

⑸ 如果，则，是根据                                  ．

【解析】略．

【答案】⑴ 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；

⑵ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

⑶ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；

⑷ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

⑸ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．

【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______；

⑶ 若，则______；⑷ 若，，则______；

⑸ 若，，，则_______．

【解析】略．

【答案】⑴ ＜；⑵ ＜；⑶ ＜；⑷ ＞；⑸ ＞．

【巩固】若，用“”或“”填空

⑴；        ⑵

⑶；          ⑷

【解析】略

【答案】⑴“”、⑵“”、⑶“”、⑷“”

【巩固】若，则下列各式中不正确的是（    ）

A.         B.        C.       D.

【解析】略

【答案】

【例3】         已知，要使成立，则必须满足(     )

A．      B．      C．      D．为任意数

【解析】，．选择A．

【答案】A

【巩固】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（     ）

A.         B.           C.          D.

【解析】略

【答案】D

【巩固】若，则下列不等成立的是(    )

A．          B．         C．        D．

【解析】略．

【答案】C

【巩固】如果，可知下面哪个不等式一定成立(    )

A．    B．    C．     D．

【解析】略．

【答案】C

【巩固】如果，那么下列四个式子中：①  ②  ③  ④正确的式子的个数共有  (    )

A．个             B．个            C．个             D．个

【解析】①、③、④正确，所以选择B

【答案】B

【巩固】根据，则下面哪个不等式不一定成立(    )

A．      B．      C．       D．

【解析】选择C，正确应为．

【答案】C

☞不等式的解集

1.不等式的解：

使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：，，，，都是不等式的解，当然它的解还有许多．

2.不等式的解集：

能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．

不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．

不等式的解集可以用数轴来表示．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集(示意图)：

【例4】         下列说法中错误的是（    ）

A.不等式的解集是；        B.是不等式的一个解

C.不等式的正整数解有无数多个      D.不等式正整数解有无限个

【解析】略

【答案】

【例5】         在数轴上表示下列不等式的解集：

⑴；       ⑵；       ⑶或；     ⑷

【解析】略

【答案】如图

【巩固】在、、、、、、中，能使不等式成立的有（    ）

A.个           B.个             C.个          D.个

【解析】略 

【答案】

【巩固】下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一定成立的有（    ）

A.1个            B.2个           C.3个           D.4个

【解析】③、⑤

【答案】B

板块二、一元一次不等式的解法

1.一元一次不等式：

经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式，其中是未知数，是已知数，并且，这样的不等式叫一元一次不等式．

或()叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解一元一次不等式：

去分母→去括号→移项→合并同类项(化成或形式)→系数化一(化成或的形式)

【例6】         求不等式的解集．

【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．

去分母，得

    去括号，得

    移项，  得

合并同类项，得

系数化为1，得

【答案】

【巩固】解不等式：

【解析】略

【答案】

【巩固】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解析】略

【答案】．

在数轴上表示解集如图所示．

【巩固】解不等式

【解析】采用整体思想，，易得．

【答案】

【巩固】当为何值时，代数式的值不小于的值？

【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．

依题意，得

∴

∴ 所以，当时，代数式的值不小于的值．

【答案】

【例7】         求不等式＜1的正整数解．

【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的．

去分母，    得

    移项，合并，得

    系数化为1， 得

∵求原不等式正整数解．

∴为原不等式正整解．

【答案】

【巩固】不等式的负整数解是_______．

【解析】略

【答案】，，，，

【巩固】不等式的正整数解为__________．

【解析】解得，故正整数解为1，2，3．

【答案】1，2，3．

【巩固】求不等式的非负整数解．

【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．

，，，，．

所以满足这个不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，5．

【答案】0，1，2，3，4，5．

板块三、一元一次不等式组的解法

1.一元一次不等式和它的解法

一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集

2.解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出这个不等式组中各个不等式的解集：

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集

注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；

②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解

3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：

【例8】         解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

【解析】.

∴原不等式组的解集是. 

在数轴上表示为：

【答案】

【巩固】求不等式组  的整数解．

【解析】由①得 ； 由②得 ．∴ 此不等式组的解集为．

∴ 此不等式组的整数解为0，1．

【答案】0，1

【例9】         解不等式：；

【解析】略

【答案】解，由题意得，，解得，∴

【巩固】解不等式：

【解析】原不等式相当于：，解得．

【答案】

【例10】     解不等式组：；

【解析】原方程组的解为，综合得且；

【答案】且

【巩固】解不等式组：

【解析】略

【答案】

【例11】     解不等式组：　

【解析】略．

【答案】

【巩固】解不等式组：

【解析】略

【答案】无解.

【例12】     解不等式组。

【解析】解不等式①，得，即可取任意实数；解不等式②，得.

∴原不等式的解集为。

【答案】

【巩固】如果、、这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求的取值范围．

【解析】根据题意可得：，即，解得．

【答案】

1.    如果，可知下面哪个不等式成立(    )

A．    B．    C．     D．

【解析】略．

【答案】C

2.    比较下列各对代数式的值的大小：

⑴已知，则；

⑵已知，则。

【解析】⑴先在不等式两边同时乘以，再同时减去1，不等号方向不变，应填“”号。

⑵先在不等式同时减去2，再同时除以，不等号改变方向，应填“”号。

【答案】（1）；（2）。

3.    解不等式：

【解析】原式可变形为：，把视为一个整体，采取整体思维，易得：．

【答案】

4.    解不等式组：

【解析】略

【答案】

5.    求同时满足和的整数解

【解析】“同时满足”说明要求的是两个不等式组成的解集，先求出不等式组的解集，再确定它的整数解．　

由题意，得

解不等式①，得；解不等式②，得．

在数轴上表示等式①、②的解集(如图所示)

∴不等式组的解集为＜．

因为满足大于且小于的整数有4，5，6，7，8，9，10，11八个，所以同时满足 和的整数解为4，5，6，7，8，9，10，11．

【答案】4，5，6，7，8，9，10，11．

一、填空

1．  不等式的负整数解为          

【答案】、、

2．  不等式的非负整数解是            

【答案】、

3．  不等式的最小整数解是            

【答案】

4．  不等式的正整数解是        

【答案】、

5．  关于的方程的根是正数，则的取值范围是         

【答案】

6．  不等式组的解集是          

【答案】

7．  不等式组的解集是             

【答案】

8．  不等式组的解集是          ，这个不等式组的整数解是        

【答案】，整数解为

9．  不等式组的解集是         

【答案】

10．  不等式组的整数解的和是            

【答案】整数解为、、、它们的和为

二、解答题

1．  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

⑴       ⑵     ⑶   ⑷

⑸   ⑹  ⑺  ⑻

【答案】图略

⑴   ⑵        ⑶       ⑷

⑸    ⑹    ⑺      ⑻