【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）9不等式的概念、性质及解法．学生版

        内容基本要求略高要求较高要求不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)． 不等式的性质理解不等式的基本性质．会利用不等式的性质比较两个实数的大小． 解一元一次不等式(组)了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集．会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题． 板块一、不等式的概念和性质 ☞不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“”和“”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“”改变方向后，就变成了“”。 【例1】         用不等式表示数量的不等关系．（1） 是正数         （2）是非负数          （3）的相反数不大于1      （4） 与的差是负数 （5）的4倍不小于8    （6）的相反数与的一半的差不是正数      （7）的3倍不大于的 （8） 不比0大 【巩固】用不等式表示：⑴ 的与的差大于；            ⑵ 的与的和小于；⑶ 的倍与的的差是非负数；    ⑷ 与的和的不大于．    【巩固】用不等式表示：⑴是非负数； ⑵的倍小于； ⑶与的和大于；⑷与的和大于    ☞不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么如果，那么基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【例2】         ⑴ 如果，则，是根据                            ；⑵ 如果，则，是根据                           ；⑶ 如果，则，是根据                                         ；⑷ 如果，则，是根据                                     ；⑸ 如果，则，是根据                                  ．  【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______；⑶ 若，则______；⑷ 若，，则______；⑸ 若，，，则_______．  【巩固】若，用“”或“”填空⑴；        ⑵⑶；          ⑷ 【巩固】若，则下列各式中不正确的是（    ）A.         B.        C.       D.  【例3】         已知，要使成立，则必须满足(     )A．      B．      C．      D．为任意数 【巩固】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（     ）A.         B.           C.          D.  【巩固】若，则下列不等成立的是(    )A．          B．         C．        D．   【巩固】如果，可知下面哪个不等式一定成立(    )A．    B．    C．     D．   【巩固】如果，那么下列四个式子中：①  ②  ③  ④正确的式子的个数共有  (    )A．个             B．个            C．个             D．个  【巩固】根据，则下面哪个不等式不一定成立(    )A．      B．      C．       D．  ☞不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：，，，，都是不等式的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集． 不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图            【例4】         下列说法中错误的是（    ）A.不等式的解集是；        B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个      D.不等式正整数解有无限个  【例5】         在数轴上表示下列不等式的解集：⑴；       ⑵；       ⑶或；     ⑷    【巩固】在、、、、、、中，能使不等式成立的有（    ）A.个           B.个             C.个          D.个  【巩固】下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一定成立的有（    ）A.1个            B.2个           C.3个           D.4个     板块二、一元一次不等式的解法  1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式，其中是未知数，是已知数，并且，这样的不等式叫一元一次不等式．或()叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成或形式)→系数化一(化成或的形式) 【例6】         求不等式的解集．    【巩固】解不等式：     【巩固】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【巩固】解不等式    【巩固】当为何值时，代数式的值不小于的值？     【例7】         求不等式＜1的正整数解．      【巩固】不等式的负整数解是_______．   【巩固】不等式的正整数解为__________．    【巩固】求不等式的非负整数解．     板块三、一元一次不等式组的解法 1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种： 不等式组（）图示解集口诀同大取大同小取小大小，小大中间找空集小小，大大找不到 【例8】         解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．     【巩固】求不等式组  的整数解．    【例9】         解不等式：；    【巩固】解不等式：    【例10】     解不等式组：；   【巩固】解不等式组：    【例11】     解不等式组：　     【巩固】解不等式组：    【例12】     解不等式组。     【巩固】如果、、这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求的取值范围．         如果，可知下面哪个不等式成立(    )A．    B．    C．     D．        比较下列各对代数式的值的大小：⑴已知，则；⑵已知，则。       解不等式：        解不等式组：        求同时满足和的整数解       一、填空1．  不等式的负整数解为             2．  不等式的非负整数解是              3．  不等式的最小整数解是               4．  不等式的正整数解是          5．  关于的方程的根是正数，则的取值范围是           6．  不等式组的解集是            7．  不等式组的解集是                8．  不等式组的解集是          ，这个不等式组的整数解是          9．  不等式组的解集是            10．  不等式组的整数解的和是               二、解答题1．  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来⑴       ⑵     ⑶   ⑷⑸   ⑹  ⑺  ⑻