【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）2二次根式运算.教师版

     内容基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）   模块一 二次根式的加减运算 二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；                     （2）找出并合并同类二次根式． 【例1】         计算：（1）               （2）【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．       （1） ；   （2） 【答案】（1） ；   （2） ． 【巩固】＝______．【难度】1星【解析】【答案】  【例2】         计算：（1）        （2）【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．       （1）；       （2）=．【答案】（1）；   （2）．  【巩固】计算：（1）       （2）【难度】2星【解析】（1）；       （2）=．【答案】（1）；  （2）．  【例3】         如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也下滑1m？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【难度】1星【解析】如图所示，在RT中，由勾股定理，得．        当AC=8m时，m；        当AC=7m时，m，        所以梯子的顶端下滑1m，它的底端滑动m．【答案】梯子的顶端下滑1m，那么它的底端不是下滑1m，而是滑动m．  模块二 二次根式的混合运算  在进行二次根式的混合运算时，要注意几点：（1）          整式和分式的运算法则仍然适用．如；（2）          多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：；． 【例4】         计算：（1）            （2） 【难度】1星【解析】（1）原式=；（2）原式=．【答案】（1）；（2）．  【例5】         计算：       （1）                   （2）       （3）     （4）【难度】2星【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．       （1）；                   （2）=；       （3） ；   （4）．【答案】（1）；                   （2）；       （3） ；                （4）．  【巩固】（1）     （2）（3）            （4）（）【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．       （1）；（2）；（3）；（4）=．【答案】（1）；　　　（2）1；　　（3）；　（4）．  【例6】         解方程或不等式:（1）         （2）   【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1）        （2）                                                                                                                                                 【答案】（1）；　　　（2）．　　  【巩固】已知，求的值．【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．        【答案】  模块三 二次根式的化简求值 【例7】         （2008年西城二模）先化简，再求值：，其中．【难度】1星【解析】，        当时，原式=．【答案】  【例8】         （2009年西城二模）先化简，再求值，其中，．【难度】1星【解析】．当，时，原式=．【答案】  【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：，其中．【难度】1星【解析】原式，当时，原式【答案】  【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：，其中．【难度】2星【解析】原式 ．当时 ，原式 ．   【答案】 总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．  【例9】         已知，，求的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．        =，，        ．【答案】36  【例10】     已知，，求的值．【难度】3星【解析】，，．【答案】 总结：该类题目直接将a，b（或a，b化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．  【例11】     求的值．【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果．原式=．【答案】  【例12】     【巩固】求的值．【难度】2星【解析】原式=．【答案】 总结：解类似的题目时，要从特殊到一般，理清解题的规律：，再利用这个公式解题．  【例13】     当，求代数式的值．【难度】2星【解析】原式=，原式=，当时，原式=．【答案】1  【巩固】已知 ，，求的值【难度】2星【解析】由题可知，，原式=，当 ，时， 原式=．【答案】 总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．  模块四 二次根式的大小比较 通过平方比较大小 【例14】     比较大小（1）和     （2）和           【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1），，，；     （2），，，．  【巩固】比较大小：     ． 【难度】1星【解析】略            【答案】  【巩固】实数，，的大小关系是                 ．（用“＞”表示）【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】． 总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．  通过做差比较大小 【例15】     比较大小和【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．　　　　，            【答案】  通过取倒数比较大小 【例16】     比较大小（1）          （2）和【难度】2星【解析】（1），，，，；     （2），，，，            【答案】（1）；（2）． 总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我们知道．  模块五 非负数性质的综合应用 二次根式具有双重非负性，且，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性． 【例17】     若，则的值等于       ．【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察．【答案】1  【例18】     如果，则        ．【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察．        解：注意到，                                    ． 【答案】5  【例19】     当时，化简．【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以    　　．因为，    　　所以＝．【答案】 【巩固】已知，求的值．【难度】2星【解析】原式     （*）        因为        但        故只有        即        又，所以        代入（*）得：原式=．【答案】  【例20】     已知实数，，满足，求的值．【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．        原式可化为，，解得．【答案】0  【巩固】已知实数，，满足，求【难度】2星【解析】略            【答案】  【练习1】下列计算正确的是（　　）A　           B　　　　C　          D　 【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．            【答案】A  【练习2】化简得（    ）．A　2   B　    C　   D 【难度】1星【解析】 因为，，，所以故．故选A．【答案】A  【练习3】先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x的取值范围是．原式取，原式＝．【答案】（合理即可）  【练习】设＝，则a，b，c的大小关系是（    ）A    B  C    D 【难度】2星【解析】，同理因为，所以．故选A．【答案】A  【练习5】已知，求 的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．       ，，解得，       ．【答案】   通过本堂课你学会了                                                   ．掌握的不太好的部分                                                   ．老师点评：①                                                         ．    ②                                                         ．             ③                                                         ．   　化简时，甲的解法是：，乙的解法： ，以下判断正确的是（    ）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确 C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确 【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用进行约分，所以二人都是正确的，故选C．【答案】C  　计算：（1） 　　　　　　（2）　【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式（2）原式【答案】（1）；（2）  　化简【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知，即．故用分母有理化化简的第三步中应为．原式．【答案】  　已知，，求的值．【难度】２星【解析】，       　，把代入得      　 原式=．【答案】  请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．【难度】２星 【解析】原式当时，原式；当时，原式．【答案】化简的结果为，当时，原式；当时，原式．  　设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值．【难度】3星 【解析】由题可知，，解得，，此时，原式变为        把代入有，a、x、y是两两不同的实数，，原式．【答案】