【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）3勾股定理.教师版

      内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。  1．    勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。2．勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：                             （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：　　                        （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：      3．勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。4．勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。                      【例1】  下列说法正确的是（　　）A. 若是的三边，则B. 若是的三边，则C. 若 是的三边，，则D. 若 是的三边，，则【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选D.【答案】D  【例2】  若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为        【解析】可知三边为，所以周长为【答案】12  【例3】  已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【解析】①当两直角边为3和4时，第三边长为；②当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.【答案】或  【例4】  已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为______________．【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知：或或．【答案】或或  【例5】  如图，一个长为米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么，梯子底端的滑动距离         米（填“大于”、“等于”、“小于”）【解析】由勾股定理可知：大于【答案】大于  【例6】  三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为(     )A.  6    B.  4.5     C.  2.4      D.8 【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .【答案】D  【例7】  如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的(     )A. 1倍      B.  2倍     C.  3倍     D.  4倍【解析】省略【答案】B  【例8】  如图，一根高米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端触地处到旗杆底部的距离为米，则折断点到旗杆底部的距离为         【解析】设米，则米，因为米，根据勾股定理可得：，解答，故折断点到旗杆底部的距离为米【答案】  【例9】  已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．【解析】由题意得，.       在中，应用勾股定理得，       .       所以.       在中，应用勾股定理，设，得       .       解得 即.【答案】  【例10】  如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（     ）A. 0          B. 1         C. 2       D. 3【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C.【答案】C   【例11】  如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形的面积为         【解析】省略【答案】  【例12】  某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求、的长（精确到1m，）.【解析】延长、交于点，在中，，则，由，得，从而m.在中，∵，，∴，从而m ，∴m ，m.【答案】  【例13】  如图，是斜边的中点，，分别在，上，，判断，与的数量关系并证明你的结论． 【解析】．延长到，使，连结、．显然，∴，，∵∴∴为直角三角形．∴．【答案】见解析  【例14】  直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）A．121    B．120   C．90     D．不能确定【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C.【答案】C  【例15】  如图，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得，即。又由已知得,所以。解得 .所以.【答案】  【例16】  在中，，若，则       .【解析】 在中,由勾股定理得，.         又有,         所以          所以.【答案】  【例17】  如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了       步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.【答案】  【例18】  一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是      ．【解析】 题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为25.【答案】  【例19】  蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）【解析】把折线从A到D,分三段计算.第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算,所以蚂蚁一共爬了28cm .【答案】  【例20】  一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动(　    )　          A. 9分米　　　B. 15分米　　　C. 5分米　    D. 8分米【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理.       初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端24分米.       结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端15分米.选D.【答案】D  【例21】  放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（    ）            A．600米     B. 800米    C. 1000米     D. 不能确定【解析】速度一定且相同，路程比=时间比.再用勾股定理，直线距离应该是25分钟的路程.选C.【答案】C  【例22】  如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.      L==20cm.      细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5cm.【答案】  【例23】  将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为         【解析】省略【答案】          【习题1】在中， ，（1）如果，则_______；（2）如果，则_______；（3）如果，则________；（4）如果，则________.【解析】直接应用勾股定理,且为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25.【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25  【习题2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为       ．【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10.【答案】6，8，10  【习题3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是，那么长的梯子可以达到的高度为         【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为【答案】  【习题4】如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,则点到的距离等于__________.【解析】过点作，并交于点.∵是的角平分线，∴.又∵，∴.∴.∴.∴.【答案】  【习题5】如图所示，在中，三边的大小关系是（     ）A.              B.         C.              D.  【解析】a= ,b=,c= . 选D.【答案】D  【习题6】在三角形中，已知边上的高，求边的长【解析】本题有两种情况：         ⑴高在三角形内，如图1，分别在和中，求得,所以        ⑵高在三角形外，如图2，同样可求得，则【答案】见解析  【习题7】如图，已知和都是等腰直角三角形，为边上一点，求证：         【解析】因为，，所以可知,所以，得证【答案】见解析