【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）4.勾股定理逆定理..教师版

      内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理及逆定理判定三角形是否为直角三角形   1．勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。 模块一 勾股定理的逆定理【例1】         在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（　　）A、锐角三角形    B、直角三角形     C、钝角三角形      D、等腰直角三角形【解析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，【答案】B．  【巩固】下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（　　）A、a=3，b=4，c=5      B、a=1，b=，c=    C、a=9，b=12，c=15    D、a= ，b=2，c=【解析】略【答案】D．  【巩固】已知a、b、c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．【解析】∵a4-b4=a2c2-b2c2
∴a4-b4-a2c2+b2c2=0
即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0
则a2+b2-c2=0或a2-b2=0
可得a2+b2=c2或a=b．【答案】△ABC是等腰三角形或直角三角形．  【例2】         如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（　　）
①∠1=∠A；②；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CD A、1    B、2     C、3      D、4 【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确；
②根据CD2=AD•DB得到，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；
③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误；
④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误．
所以正确的有三个．【答案】C．  【巩固】如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（　　）  A、10   B、12    C、14     D、16【解析】可得到14个直角三角形，分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF．【答案】C．   【例3】         已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　　）A、30   B、60    C、78     D、不能确定【解析】∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∵长为5，12的边为直角边，
∴三角形的面积= 12×5×12=30．【答案】A．  【巩固】如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
  【解析】连接AC． 
∵AD=4m，CD=3m，AD⊥DC
∴AC=5m
∵122+52=132
∴△ACB为直角三角形
∴S△ACB= 12×AC×BC= 12×5×12=30m2，
∴这块地的面积=S△ACB-S△ACD=30-6=24m2．【答案】  【例4】         如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．
（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；
（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．（提示：连接CD） 【解析】（1）利用三角形判定全等的方法先求出△AEC≌△BDE，在利用全等的性质得出数量关系和位置关系；（2）直接利用（1）中的全等找到三角形ACE中的边长，用勾股定理求解即可．【答案】（1）CE=DE，CE⊥DE．∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B．
∵AC=BE，AE=BD，
∴△AEC≌△BDE（SAS）．
∴CE=DE，∠CEA=∠BDE．
∵∠BED+∠BDE=90°，
∴∠CEA+∠BED=90°．
∴CE⊥DE．

（2）由（1）可知AC=5，AE=BD=12，
∴CE=13．  【巩固】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为（   ）cm2．【解析】设AB为3x，BC为4x，AC为5x
∵周长为36
AB+BC+AC=36，
∴3x+4x+5x=36
得x=3
∴AB=9，BC=12，AC=15
∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形
过3秒时，BP=9-3=6，BQ=2×3=6
∴S△PBQ=BP•BQ=×（9-3）×6=18cm2．【答案】18cm2  【例5】         阅读理解题：
（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．求证：∠BAC=90°．
证明：∵BD=CD，AD=BC，∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．
（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之    和为，求这个三角形的面积．【解析】略【答案】（1）为题目信息，不用解答．
（2）根据题意用语言表述为：如果三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角  三角形．
（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，
设一边长为x，则另一边长为：[（）-x]，
根据勾股定理，[（）-x]2+x2=4，解得x=1或，
根据直角三角形的面积可得．     模块二 勾股定理与特殊三角形含角的直角三角形【例6】         如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）A、      B、     C、      D、【解析】∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．∴∠BDC=∠CBD=30°．∴∠BDE=90°．∴．
【答案】D  【巩固】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）A、3      B、6    C、      D、【解析】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6，又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=6 2，
  【答案】D．
  【例7】         如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）A、3.5       B、4.2         C、5.8          D、7【解析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．
【答案】D．  【巩固】在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于A、       B、        C、      D、【解析】首先由已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3求出∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，求出AB=2a，由CD⊥AB得∠BCD=30°，所以得BD=，
从而求出AD．【答案】  【例8】         如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（　　）【解析】在Rt△AEC中，由于，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【答案】  【巩固】如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是（　　）【解析】∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）∴∠ADC=30°（外角性质）∴=6.5cm．
【答案】6.5cm  【例9】         已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
 【解析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．在（1）的基础上，知AE+AF=AC，进而证明AD+AB=AC仍成立． 【答案】（1）∵AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴，
∴AB+AD=AC．
（2）结论仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∴△CDE≌△CBF，
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，
由（1），知AE+AF=AC．
∴AD+AB=AC．含角的直角三角形 【例10】     解答下列各题：(1)等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；

（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．【解析】（1）、（2）通过证明△BEC≌△ADC得到AD与BE的数量关系与位置关系．【答案】（1）AD⊥BE，AD=BE，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，
∴DC=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，
∴△BEC≌△ADC，
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BEC=∠AEF，∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠AEF+∠DAC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AD⊥BE．（2）仍存在．如图，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，
∴DC=EC，AC=BC，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴△BEC≌△ADC
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BOC=∠AOE，∠BOC+∠EBC=90°，
∴∠AOE+∠DAC=90°，
∴AD⊥BE．  【例11】     如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=求BE的长．【解析】∵△ABD是等边三角形
∴AC=BC，DC=DC
又∵ABC等腰直角三角形
∴BD=AD
∴△ADC≌△BDC
∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°
又∵∠CBD=60°-45°=15°
∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°
∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD
∴△BCD≌△BED
∴根据勾股定理BE=CB=1【答案】1．  【例12】     已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．【解析】根据线段垂直平分线的性质，得FA=FB，只需证明∠AFB=90°．根据HL可以证明Rt△ACF≌Rt△FDB，则∠CAF=∠DFB，结合∠CAF+∠CFA=90°，即可求证．【答案】∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF与△FDB是直角三角形．
在Rt△ACF与Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，
∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL）．
∴∠CAF=∠DFB．
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∴∠CFA+∠BFD=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△ABF是等腰直角三角形．  【巩固】如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．
（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）【解析】（1）过B作BD⊥AM于D，求出BD的长度为5，因为AB=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度数；
（2）AB⊥BC时，光线照在桌面上的轴截面是等腰直角三角形，斜边上的高等于BC的长度20，所以光线所照部分圆的半径为20，代入面积公式求解即可．【答案】（1）过点B作BD⊥AM于D，
∵AM=25，
∴AD=5，
又∵AB=10，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°．
（2）∵AB⊥BC，
∴AM=20，设AP，AQ与桌面交于E，F，△AEF为等腰直角三角形，AM为斜边上的高，
∴ME=MF=20，
台灯照在桌面上的最大面积为π•202=400π． 
 
   1. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．【解析】连接AC．
设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．
∵∠B=90°，AB：BC=2：2，
∴∠BAC=45°，AC2=AB2+BC2=4k2+4k2=8k2，
∵（3k）2-k2=8k2，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°．【答案】  2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=．（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=，故△CDB为直角三角形，
∴在Rt△CDB中，，
在Rt△CAD中，．
（2）△ABC为直角三角形．
理由：∵AD=，BD=，∴AB=AD+BD=+=5，
∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．  3. 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．【解析】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【答案】  4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．【解析】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
所以∠B=∠C=30°，又AD⊥AC，
即有CD=2AD，AD=DB，
所以BC=CD+BD=3BD=3AD．【答案】如解析．