【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）7.特殊的平行四边形1.教师版

     知识点A要求B要求Ｃ要求矩形会识别矩形掌握矩形的概念A、判定和性质，会用矩形的性质及判定解决简单问题会运用矩形的知识解决有关问题  模块一 矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 【例1】         矩形具有而平行四边形不具有的性质为（     ）A．对角线相等                       B．对角相等C．对角线互相平分                   D．对边相等【解析】省略【答案】A  【例2】         如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则         【解析】省略【答案】  【巩固】矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件          时，四边形是矩形【解析】省略【答案】  【例3】         如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．【解析】省略【答案】∵，∴∥在和中∴≌ ()∵，∴四边形是平行四边形∵，∴四边形是矩形  【巩固】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形． 【解析】省略【答案】∵、、、分别是四边的中点∴、为中位线∴且∴四边形为平行四边形∵，∴∴四边形是矩形．  【巩固】如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形．【解析】省略【答案】∵四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴在和中∴≌ ()，∴∴，∴四边形是矩形  【例4】         设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【解析】省略【答案】这个四边形是矩形．由已知得变换此式有得；得，故知是平行四边形又得，因此，是矩形  【例5】         已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：【解析】过点作垂直，分别交、于、两点．∵  又∵∴∴【答案】见解析  【例6】         （西城区抽样测试）如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为．⑴判断是什么图形,并加以证明；⑵若，．求的长；⑶四边形中，比较与的大小．【解析】⑴等腰梯形；易证得，，结论易得．       ⑵过点作，垂足为．         ∵为等腰梯形    ∴         ∵     ∴≌    ∴         ∵，，  ∴         ∵，  ∴         ∵   ∴，         ∴       ⑶由⑵可知，         ∵    ∴         ∴         ∴         ∴【答案】见解析  【例7】         如图所示，在矩形和矩形中，若，求证：．                       【解析】∵，，∴∵，∴≌，∵，，∴是平行四边形又∵，∴是菱形连接，则，，∴从而证得≌，∴，∴，∴∥，，∴【答案】见解析【例8】         已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：．【解析】连结交于，∵四边形为矩形，∴，∴，∴∵平分，∴，∴∵，∴∵，∴，∴，∴，∴【答案】见解析  【例9】         如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．⑴ 求证：．⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【解析】省略【答案】⑴ ∵，是的中点，∴∵  ∴∴，∵∴（2）四边形是矩形∵，是的中点（利用全等）∴∴∵，∴四边形是平行四边形又  ∴四边形是矩形．  【巩固】如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）求证：（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由！【解析】省略【答案】⑴证明：        ⑵当为的中点时，四边形为矩形  【例10】     如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：≌.【解析】省略【答案】∵四边形是矩形∴.在和中，又∵，∴≌.  【例11】     如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即                               .(写出一条线段即可)【解析】连接.∵四边形是矩形，∴，，.∴.又∵，∴，∴，又∵，∴≌，∴.【答案】.  【例12】     如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．【解析】省略【答案】∵四边形为平行四边形∴，∵、分别是、的平分线∴∴同理∴四边形是矩形．  【巩固】如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．【解析】（1）要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠ACD即可；
（2）由证明四边形是平行四边形，来间接地证明BCEF的形状．【答案】略  【巩固】如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 【解析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；
（3）图3中的结论是PR-PQ=．【答案】同解析．  模块二 斜边中线的性质【例13】     如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（  ）A．  B．    C．   D．【解析】∵，，∴为等边三角形，∴【答案】B  【例14】     矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是         ．【解析】∵，∴．【答案】  【例15】     如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知，且，求的长．【解析】因为，且矩形中，所以，因为，所以        ，是等边三角形，即，由条件易得是的中位线，        ，所以【答案】   1. 已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形． 【解析】省略【答案】∵，∴又∵，，∴，∴∥又∵∥，∴是平行四边形，∴∵，，∴∴，∴四边形是平行四边形又∵，∴平行四边形为矩形本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形  2. 如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接． ⑴ 求证：四边形是菱形；⑵ 连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？【解析】省略【答案】⑴ 是由绕点旋转得到∴， ∴是等边三角形∴ 又∵是由沿所在直线翻转得到∴，∴∴点、、三点共线∴是等边三角形∴ ∴ ∴四边形是菱形． ⑵ 四边形是矩形． 由⑴可知：是等边三角形，于∴，又∵∴，∴，∴∴四边形是平行四边形，而 ∴四边形是矩形．