【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）11函数及图像3.教师版

       内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数，能结合具体情境了解一次函数的意义;会画一次函数的图像，理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数解析式;会根据一次函数解析式求其图像与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数图像求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题   平移规律：一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则模块一  一次函数图象的几何变换【例1】         （2011•乌鲁木齐）将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（   ）A．  B．  C．  D．【解析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为，即．故选．  【巩固】直线可以由直线向    平移    个单位得到的．【难度】2星【解析】略【答案】下，4  【巩固】一次函数的图象可以看成由正比例函数的图象向    （填“上”和“下”）平移    个单位得到的．【难度】2星【解析】略【答案】下，3【巩固】把函数的图像向右平行移动个单位，求：（1）平移后得到的直线解析式；（2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．【解析】（1）因为直线向右平移个单位，所以，且平移后经过点．设所求解析式为，将代入，得．所以所求直线解析式为．（2）因为到两坐标轴距离相等的点在直线或上，所以解方程组和得和【答案】（1）；（2）或  模块二  用待定系数法求一次函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． 用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． ☞待定系数法【例2】        如果的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k的值为（   ）A.4     B.- 4          C.               D. 【解析】       由题意得：，将带入等式，即，所以解出【答案】B 【例3】        已知与成正比例，其中、是常数，当时，，当时，.求与的函数关系．【解析】       根据题意，设(),即由题意，得   ，解得，.所求函数关系式为.  【巩固】已知与成正比例，且当时.求与之间的函数关系式．【解析】       与成正比例，设()当时，，求得，与之间的函数关系式为  【巩固】（2009•桂林）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为             ．【解析】寻找原直线解析式上的向左平移一个单位长度，得到的点．【答案】可从正比例函数上找两点：（0，0）、（﹣1，2），这两个点左平移一个单位长度，得（﹣1，0）（﹣2，2），那么这两个点在向左平移一个单位长度得到的函数图象的解析式y=kx+b上，则﹣k+b=0，﹣2k+b=2解得：k=﹣2，b=﹣2．∴得到的解析式为：y=﹣2x﹣2．【点评】解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点．   【巩固】已知与成正比例，且当时.求与之间的函数关系式．【解析】       与成正比例，设 ()当时，，求得，与之间的函数关系式为【答案】  【例4】        已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】       设这个一次函数的解析式为：，由题意可知，解得故这个一次函数的解析式为：．这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【答案】  【例5】        已知一次函数中自变量x的取值范围为，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式。【解析】       当时，随的增大而增大，由，可知时，；时，        所以，解得        故函数解析式为。当时，随的增大而减小，由，可知时，；时，所以，解得故函数解析式为。  【巩固】已知一次函数，当时，对应的值为，求的值.【解析】       若，所以当时，；当时，；解得，，；若，所以当时，；当时，；解得，，.【答案】  【例6】        （1）（★★★）(09山东泰安)已知是一次函数，表给出了部分对应值，的值是                ．（2）（★★★）（08永州）如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ．【解析】       （1）； （2）设一次函数的解析式为将点，代入，得 解之，得∴解析式为 ．   【例7】        (08年上海市中考题)如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是           ．【解析】       根据题意可得的解析式为，向上平移一个单位以后，可得：，即  【例8】        ⑴（★★）如果直线经过第一、二、三象限，那么　　　　　（填“”、“”、“”）．⑵（★★）已知一次函数．求：①为何值时，一次函数的图象经过原点．②为何值时，一次函数的图象与轴交于点． 【解析】       ⑴先画草图，根据已知得随的增大而增大，可知；图象与轴交点在轴上方，知，故．⑵①；② ☞对称 【例1】        若直线与直线关于轴对称，则的值分别是（　　）A、﹣2，﹣2  B、﹣2，2  C、2，﹣2  D、2，2【解析】先根据两直线关于轴对称的特点求出函数的解析式，即可确定答案．【答案】∵直线与直线关于轴对称，∴．故选A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．  【巩固】（2005•天津）若正比例函数y=kx与y=2x的图象关于x轴对称，则k的值=         ．。【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．则两个解析式的k值应互为相反数．【答案】两个解析式的k值应互为相反数，即k=﹣2．【点评】若两个正比例函数的图象关于x轴对称，则k值互为相反数．  模块三  一次函数与方程及不等式综合1.一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。2.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：    一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。☞一次函数与一元一次方程综合【例9】         已知直线和交于轴上同一点，的值为（    ）A．   B．  C．  D．【解析】分别求出两个直线与x轴的交点坐标分别为和，因为交与x轴上的同一点，所以可列方程，解得【答案】C  【例10】     已知一次函数与的图象相交于点，则______．【解析】分别将点代入两个一次函数解析式，得和，联立方程得，所以【答案】16  【例11】     已知一次函数的图象经过点，，则不求的值，可直接得到方程的解是______．【解析】分别根据题意可知当时，【答案】1  ☞一次函数与一元一次不等式综合 【例12】     已知一次函数．（1）画出它的图象；（2）求出当时，的值；（3）求出当时，的值；（4）观察图象，求出当为何值时，，，【解析】略【答案】（1）列表：过点和作直线，此直线即为一次函数的图象，如图所示：（2）当时，（3）当时，（4）观察图像可知，当时，函数的图象在x轴下方，；当时，；当时，函数的图象在轴上方，．   【例13】     已知，．当时，x的取值范围是（    ）A．  B．  C．  D．【解析】根据题意可知列不等式，解不等式即可【答案】C   【例14】     直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．【解析】根据题意结合图象看出，当时，直线在直线上方【答案】  【例15】     若解方程得，则当x_________时直线上的点在直线上相应点的上方．【解析】列一元一次不等式或是画图象均可得出答案，上的点在直线上相应点的上方，即【答案】  【例16】     如图，直线经过，两点，则不等式的解集为______．【解析】根据题意本题可以先求出直线解析式再求不等式组的解集，或由题意中的两个直线上的点的坐标去判断所求的解集【答案】  【例17】     已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当时，的值；（2）x为何值时，？（3）当时，的值范围；（4）当时，的值范围．【解析】（1）设一次函数的解析式为，由题意，列得，解得∴一次函数的解析式为∴当时，（2）∵∴，解不等式得：∴当时，（3）∵，∴又∵，即解得：∴当时，（4）∵，∴ 解得：∴当时，【答案】（1）；（2）；（3）；（4）  ☞一次函数与二元一次方程（组）综合【例18】     已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．【解析】两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解【答案】  【例19】     已知方程组（为常数，）的解为，则直线和直线的交点坐标为________．【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标【答案】  【例20】     已知，是方程组的解，那么一次函数________和________的交点是________．【解析】一次函数与二元一次方程组的关系，将方程组中的两个二元一次方程整理成用x表示y的形式，则是两个一次函数的解析式和，方程组的解即是两个一次函数图象交点的横纵坐标坐标，即【答案】，，  【例21】     一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ）A．0  B．1  C．2  D．3【解析】（1）直线经过二、四象限，则，所以①是正确的；（2）直线与y轴交于y轴的负半轴，∴，所以②是错误的；（3）由两个一次函数图象可知时，直线在直线上方，∴，∴③是错误的。因此只有一个是正确的。【答案】B．  【例22】     若直线与轴交于点，则的值为（    ）A.3   B.2   C.1   D.0【解析】列一元一次方程得：，解得：【答案】A  【例23】     已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ）A．  B．  C．  D．【解析】根据图象列关于k,b的二元一次方程组，求出函数解析式，整理出，∴，则是，求不等式的解为 【答案】C  【例24】     如图所示的是函数与的图象，求方程组 的解关于原点对称的点的坐标是________．【解析】考察一次函数与二元一次方程组的关系，在平面直角坐标系内可知两个直线的交点坐标为，所以它关于远点的对称的点的坐标是【答案】  【例25】     一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）A．  B．  C．  D．【解析】，即，∴由图象看出与x轴交于点（-2，0）【答案】A  【例26】     如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是________．【解析】由图象知，，即则图象在x轴下方，所以【答案】  【例27】     把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（    ）A.无解  B.有唯一解  C.有无数个解   D.以上都有可能【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标，若两条直线平行，则说明这两条直线无交点，则此二元一次方程组无解【答案】A 将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是                  ．【难度】2星【解析】略【答案】   已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（   ）A.                 B. C.                                D. 【解析】       由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为，同时根据图象看出自变量的取值范围为【答案】B  当自变量满足什么条件时，函数的图象在：（1）轴上方；  （2）轴左侧；  （3）第一象限．【解析】（1），解这个不等式，得（2）函数图象在轴左侧，应取负数，即（3）函数图象在第一象限，则应有，【答案】（1）；（2）；（3）  如图，直线与轴交于点，则时，的取值范围是（    ）A.  B．  C.   D．【解析】由题意结合图象可知，则【答案】A  当自变量满足什么条件时，函数的图象在：（1）轴下方；   （2）轴左侧；   （3）第一象限．【解析】令解得.根据题意，三种情形应分别满足不等式：（1），即，；（2）；（3），．【答案】（1）；（2）；（3）