【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）13数据分析.教师版

数据分析







内容
基本要求
略高要求
较高要求
数据分析
了解相关概念
能根据实际问题使用数据分析



1、平均数：
一组数据中，有n 个数据，分别记为 ，，……， ，则它们的平均数为： =,如果这n 个数据比较大，而且批次之间接近，我们就可以采用“选基准数”求和的简便算法.
2、加权平均数：
在统计学中，经常把下面的这种算术平均数看成加权平均数：
在求n 个数得算数平均数时， 如果出现 次，出现次，…， 出现次， 这里( =n) ,那么这n 个数的算术平均数为：= ,也叫做 …这k个数的加权平均数，其中，，…，分别叫做，，…，的权.
3、中位数：
将一组数据按从小到大（或从大到小顺）的顺序进行排列，如果数据个数为奇数，则中间的那个数就是中位数，如果数据的个数为偶数，则中位数应是中间两个数据的平均数．
4、众数：
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数一样，都是最大，那么这些个数据是这组数据的众数. 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数，譬如：1，2，3，4，5 没有众数.
当一组数据有较多重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.
5、平均数、众数和中位数对一组数分别从不同的方面进行描述
平均数反映这组数据中各数据的平均大小；
众数反映的是这个值出现的次数最多；
中位数不易受极端值影响.
6、方差
⑴极差：极差=数据的最大值最小值.
⑵方差的计算：①基本公式：.
②简化公式：
或.
⑶标准方差：.
⑷方差与标准方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数（或衡量一组数据相对于它们的平均数的离散程度）.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据单位的平方，标准方差的单位与原单位相同.


【例1】 某男子排球队20名队员的身高如下表：
身高（cm）
180
186
188
192
208
人数（个）
4
6
5
3
2
则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是（ ）B
A．186cm，186cm B．186cm，187cm
C．208cm，188cm D．188cm，187cm
【解析】省略
【答案】B


【例2】 已知数据，6，8，10的中位数是8，则平均数为 。
【解析】省略
【答案】


【例3】 若5个正整数的中位数是3，众数是7且唯一，这5个正整数的和是多少？
【解析】判断知5个数为：1、2、3、7、7，所以和为20.
【答案】


【例4】 5个整数从小到大排列，中位数是4，平均数是6，且有唯一的众数3，则这样的5个整数（ ）
A.不存在 B.有且只有一组 C.不止一组，但有有限组 D.有无限组
【解析】根据题意，前三数必是3，3，4，后两数之和为20，且第四个数大于4，因此可以得到以下五组整数满足条件：3，3，4，5，15；3，3，4，6，14；3，3，4，7，13；3，3，4，8，12；，3，4，9，11.故选C.
【答案】C


【例5】 一位数学教师在录入班级50 名同学的数学成绩时，有一名同学的成绩录入错了，则该组数据一定会发生改变的是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数
D．中位数、众数、平均数都一定发生改变
【解析】省略
【答案】C
【例6】 在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中( )
A．平均数不变 B．众数不变 C．中位数不变 D．以上说法均有错误
【解析】省略
【答案】A



【例7】 如果一组数据中有惟一的一个众数，在该组数据中加入它的众数，则新数据组中( )
A．中位数不变 B．平均数不变 C．众数不变 D．以上说法都有错误
【解析】省略
【答案】C


【例8】 下列说法有错误的是( )
A．一组数据总有众数
B．众数是出现频数最多的数据值
C．当有多个数据出现的频数并列最多时，则这多个数据都是众数
D．众数不一定是整数
【解析】省略
【答案】A

【例9】 以下问题中的数据在美国的历史上都是真实的，试对此现象进行分析：
⑴亚利桑那州历来是一个风景优美，气候宜人的地方，尤其有利于肺结核病人的疗养、康复．可是十九世纪有一位统计学家发现，在亚利桑那州死于肺结核的人数远较其他州多，患者比例普遍达到其他州的1.5 至2倍．人们一度对这里优美的环境望而却步，给当地的旅游、疗养业造成了巨大的影响．
⑵上个世纪，某地的房产开发商曾对当时每户家庭人数进行过较大规模的调查，得到的结论是平均每户人．据此，在当年的住房设计中主要考虑了适宜4人家庭居住的户型，结果造成了滞销，而适宜2至3人家庭居住的小户型和4 人以上的大户型却供不应求．
【解析】⑴由于亚利桑那州的气候、环境有利于肺结核病人的康复，所以必然会有大量外地患者前来疗养 患者比例、死亡人数的增加就不足为奇．要正确评价当地环境对肺结核患者的作用，应同时调查肺结核病人的治愈、好转率，当地居民中肺结核的发病率等．
⑵平均每户3.6 人并不表示大多数家庭规模为近4 人．开发商在关注家庭人数平均数、众数的同时
应对数据作全面分析，并注重对近期准备购房对象作调查．事实上，当地媒体事后公布的数据是全
部家庭中，3～4 人家庭占45％，1～2 人家庭占35％，4人以上家庭占20％；而两年内购买新房的
家庭中3～4 人家庭占33％，1～2 人家庭占56％，4 人以上家庭占11％．
【答案】见解析


【例10】 炎热的夏天来了，不太会游泳的小明准备去游泳清凉一下，可是游泳馆因为改造而没有开馆.小明失望极了，但他在回家的路上，恰好经过一条小河，河边标牌上写着平均水深1.3米，于是小明就想在那儿游泳.他想：平常总能看见有人在这游泳，不会有危险的，再说我身高1.6米，不会游泳也不算是问题.先凉快一下再说!如果你是小明的朋友，你会给小明怎样的建议？
【解析】河边木牌上所指的平均数是算术平均数，一般在没有特别说明的情况下，平均数指的就是算术平均数，但在日常生活中我们还会用到其他几种平均数，如加权平均数、截尾平均数、几何平均数等.显然这里平均水深并不表示河里每一处的水深都是1.3 米，可能会有深有浅，小明下去游泳会很危险.我们更应该建议管理部门将牌子改为最深×××米.事实上，由于平均数是一组数据中所有数值的总和除以这组数据的个数所得的值，当个别数据偏离较大时，常常会导致我们判断上的失误.有很多统计资料，所呈现出来的信息就未必可靠.
【答案】见解析


【例11】 某学校规定，初二学年的单科平均成绩的计算方法如下：初二上学期期中考试成绩占10％，期末考试成绩占30％；下学期期中成绩占20％，期末考试成绩占40％；如果某个学生初二四次数学考试成绩如下：初二上学期期中数学成绩：108；初二上学期期末数学成绩：104；初二下学期期中数学成绩：110；初二下学期期末数学成绩：115；求这个学生初二学年的数学平均成绩．(每次考试数学总分120分)
【解析】这是因为这四个成绩在总成绩所占的比重不一样，即每个成绩都有自己的权，应该利用加权平均数．该生平均成绩为：
【答案】


【例12】 小明和爸爸妈妈非常喜欢看CCTV-2，由佳明和庞晔主持的《绝对挑战》栏目，每当到了关键时候，也就是招聘方决定聘谁的那一刻，一家三口常常还热烈地争讨.本周是某广告公司欲招聘广告策划人员一名，公司在栏目组的帮助下对A、B 、C 三名候选人进行了各项素质测试.小明和爸爸妈妈认真观看后，为三名候选人在各项测试上打出了分数：
测试项目
A 的成绩
B 的成绩
C 的成绩
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
小明：“聘用A，因为A的平均成绩是70 分，B 、C 的平均成绩都是68 分，A成绩最高.”
妈妈：“聘用C ，因为C 的各方面都比较平均，而A、B 都有一项不及格.”
爸爸：“聘用B ，我认为广告策划关键看创新，而B 的基础知识也比较扎实.”
看看!一家人的意见不一致了.你认为该公司的老总会聘用谁呢?说说你的理由.
【解析】 在实际问题中，各个数据的重要程度是不同的，因此在计算平均数时，我们往往给每个数据一个 权，以此来体现它们的重要程度.看看一家人后面的解决方法：爸爸向小明问道：“广告策划人员最重要的条件是什么?”
“是创新.”
“其次呢?”
“是综合知识，最后是语言.”
妈妈问道：“这三个条件的重要程度各是多少呢?”
经过三人商讨，认为4：3：1 较合适。下面是小明在附加了权重后计算的三名应聘人员的成绩. A的成绩为：分，
B的成绩为分，C的成绩为分.
小明：“B的成绩最高，应该录用B.”话音未落，电视里的结果也出来了，招聘方确实选的是B .
爸爸：“那么A适合做什么工作呢?”
小明道：“要发挥他的特长，语言对于推销员来说最重要，其次是综合知识和创新，我看他作推销一定会很优秀.”正所谓“寸有所长，尺有所短”
【答案】见解析


【例13】 新华机械厂有15名工人，某月这15名工人加工的零件数统计如下：
人数（名）
1
1
2
6
3
2
加工的零件数（件）
540
450
300
240
210
120
（1）求这15名工人该月加工的零件数的平均数、中位数和众数；
（2）假如部门负责人把每位工人每月加工零件的任务确定为260件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，你认为多少较为合适？
【解析】⑴平均数为：（件）；中位数为240
件；众数为240件.
⑵不是很合理，因为大多数人（11个）的每月加工数量都在260件以下，这在短时间内是不可能达
到的，定在240件左右比较合理，这样10个人每月的加工数都满足条件.
【答案】见解析



【例14】 将某雷达测速区测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（未完成）：
（1）请你把表中的数据填写完整；
（2）根据表格可得，被监测的汽车时速的中位数所在的范围是 ；
众数所在的范围是 ；
（3）如果此地汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有 辆．
数据段
频数
频率















总计


【解析】
（1）如表
数据段
频数
频率

10
0.05

36
0.18

78
0.39

56
0.28

20
0.10
总计
200
1
（2）根据表格可得，被监测的汽车时速中位数所在的范围是；
众数所在的范围是．
（3）如果此地汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有76辆．
【答案】见解析


【例15】 下表中，若平均数为2，则等于 .
分数
0
1
2
3
4
学生人数

5
6
3
2
【解析】根据题意有：
【答案】


【例16】 一组数据同时减去70，算得新的一组数据的平均数为0.3，则原数据的平均数为多少？
【解析】原数据的平均数为：
【答案】


【例17】 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）
A．11元/千克　　　B．11.5元/千克　　 C．12元/千克　　　D．12.5元/千克
【解析】省略
【答案】B


【例18】 一组数据，，，…，得平均数是，则数据，，，…，的平均数是 .
【解析】==.
【答案】


【例19】 已知数据，，的平均数是，那么数据，，的平均数等于多少？
【解析】
【答案】


【例20】 如果，，的平均数为2，则，，的平均数是多少？
【解析】，，的平均数是：
【答案】


【例21】 将最小的31个正整数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的算术平均数增加，B组的各数的算术平均数也增加，问A组中原有多少个数？
【解析】设A组中有个数，，…，，其中，B组中有个数，，…，，依题意有
①
②
由①得 ③
由②得④
又，由③＋④，得
故A组中原有22个数.
【答案】


【例22】 一位同学调查41名女运动员所穿运动鞋的尺码，整理如下表（单位：）
运动鞋的尺码
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
穿鞋人数
2
3
5
7
11
6
4
1

求这组数据的众数、中位数、平均数.
【解析】众数、中位数、平均数分别为：、、约 ,注意利用加权平均数计算.
【答案】众数、中位数、平均数分别为：、、约


【例23】 中央电视台2004 年5 月8 日7 时30 分发布天气预报，我国内地31 个直辖市和省会城市5 月9 日的最高气温(℃)统计如下表：

那么这些城市5 月9 日的最高气温的中位数和众数分别是多少？
【解析】 31 个省市，第16 个数是最中间的，所以中位数是28℃，众数也为28℃.
【答案】中位数是28℃，众数也为28℃


【例24】 分别求出下列两组数据的平均数、中位数和众数：
（1）2，4，4，5，3，9，4，5，1，8；
（2）54，5，4，6，4，6，6，5，4，56．
【解析】⑴众数、中位数与平均数分别为4，4，4.5.
⑵将数据重新排列：4，4，4，5，5，6，6，6，54，56，容易得到平均数是15，中位数是5.5，众数有两个：4和6．
【答案】⑴众数、中位数与平均数分别为4，4，4.5.
⑵将数据重新排列：4，4，4，5，5，6，6，6，54，56，容易得到平均数是15，中位数是5.5，众数有两个：4和6．


【例25】 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别是9，9，，7，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数为多少？
【解析】若，那么众数就为9，则易得，若，平均数为8 ，显然不成立.所
以这组数为：7，9，9，11，中位数为：；
【答案】


【例26】 一组数据5，7，7，的中位数与平均数相等，则的值为多少？
【解析】注意分类讨论，按从小到大排列可分成以下几种情况：
①，5，7，7，所以中位数为6，那么有：，得，符合排序；
②5，，7，7，若，那么，得，符合排序；若，显然不符合题意；
③5，7，7，，中位数为7，所以，符合排序；总上所述为5或9.
【答案】见解析


【例27】 当五个整数从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据的惟一众数是6，那么这5个整数可能的最大的和是多少？
【解析】把这组数据由小到大排列，根据中位数是4，则第三个是4，6是惟一的众数，则第4个和第5个都是6，而且前两个小于4，并且不相等，最大是第一个2，第二个是3，和的最大值为：
.
【答案】


【例28】 一组数据3，3，5，的中位数与平均数相等，则的值为多少？
【解析】注意分类讨论，按从小到大排列可分成以下几种情况：
⑴，3，3，5，所以中位数为3，那么有：，得，符合排序；
⑵3，3，，5，若，那么，得，符合排序；若，显然不符合题意；
⑶3，3，5，，中位数为4，所以，符合排序；总上所述为5或1.
【答案】见解析


【例29】 某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工名数
1
3
2
3

24
1
每人月工资/元
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950


请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数为2 500元，
中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图中小张的问题，并指出用(2)中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资(结果保留整数)，并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
【解析】⑴16；
⑵1700，1600；
⑶这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平，用1700或1600元来介绍更合理些；
⑷（元），能反映员工的月工资实际水平．
【答案】见解析


【例30】 说一说你对下列问题的看法：鞋厂为开发新产品，抽样调查了100名16至18岁女学生穿鞋的尺码，厂方对于调查所得的平均数、中位数和众数中最关注的是什么？
【解析】厂方最关注的是众数.
【答案】众数


【例31】 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
人数
12
10
5
0
15 20 25 30 35
次数

【解析】本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法。仰卧起做次数在15～20间的频数是，其频率为，所以选A。
【答案】A


【例32】 计算：若10个数据平均数是3，标准差是2，则方差是 ，这10个数据的平方和是 .
【解析】方差（标准差）2，方差
又方差

【答案】


【例33】 为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且、、、． 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙
【解析】省略
【答案】C


【例34】 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲”或“乙”)．
【解析】省略
【答案】甲


【例35】 一组数据的方差为9，数据的方差为 ，标准差为 .
【解析】设数据的平均值为，则，
数据的平均值为
方差


的方差为，标准差为.
【答案】


【例36】 一组数据的方差为9，数据的方差为 ，标准差为 .
【解析】设数据的平均值为，则，
数据的平均值为
方差


的方差为，标准差为.
【答案】方差为，标准差为



课后作业


1. 在一组数据中加入它的中位数，则新数据组中( )
A．中位数不变 B．平均数不变 C．众数不变 D．以上说法均有错误
【解析】省略
【答案】A



2. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm)如下表所示：



队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
甲队
177
176
175
172
175
乙对
170
175
173
174
183


设两队队员身高的平均数依次为，，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正
确的是（ ）
A．=，> B．=，<
C．>，> D．<，>。
【解析】省略
【答案】B


3. 一组数据从小到大排列为1，2，4，，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为多少？
【解析】易得，所以众数为6.
【答案】