【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）4.勾股定理逆定理.学生版

     内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理及逆定理判定三角形是否为直角三角形  1．勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。 模块一 勾股定理的逆定理【例1】         在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（　　）A、锐角三角形    B、直角三角形     C、钝角三角形      D、等腰直角三角形     【巩固】下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（　　）A、a=3，b=4，c=5      B、a=1，b=，c=    C、a=9，b=12，c=15    D、a= ，b=2，c=   【巩固】已知a、b、c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．      【例2】         如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（　　）
①∠1=∠A；②；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CD A、1    B、2     C、3      D、4       【巩固】如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（　　）  A、10   B、12    C、14     D、16       【例3】         已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　　）A、30   B、60    C、78     D、不能确定      【巩固】如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
        【例4】         如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．
（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；
（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．（提示：连接CD）               【巩固】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为（   ）cm2．             【例5】         阅读理解题：
（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．求证：∠BAC=90°．
证明：∵BD=CD，AD=BC，∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．
（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之    和为，求这个三角形的面积．            模块二 勾股定理与特殊三角形含角的直角三角形【例6】         如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）A、      B、     C、      D、   【巩固】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）A、3      B、6    C、      D、          【例7】         如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）A、3.5       B、4.2         C、5.8          D、7       【巩固】在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于A、       B、        C、      D、        【例8】         如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（　　）       【巩固】如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是（　　）        【例9】         已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
          含角的直角三角形 【例10】     解答下列各题：(1)等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；

（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．            【例11】     如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=求BE的长．         【例12】     已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．         【巩固】如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．
（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大） 1. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．       2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=．（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．         3. 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．       4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．