2020-2021学年人教A版精品二轮思想方法学案 规范答题 函数与导数

[命题分析] 函数与导数问题高考中一般作为压轴题，考查函数的单调性、不等式证明、恒成立问题及零点问题等.

典例　(12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.

(1)    当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)    (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围.

步骤要点

规范解答

阅卷细则

(1)灵活变形：根据已知条件对要证(求)不等式(或方程)的结构进行变形，进行拆分或分离成适当形式，构造函数.

(2)看性质：通过求导讨论等确定函数的单调性、最值等性质.

(3)得结论：通过函数性质(或函数大致图象)求(证)得最后结论.

解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，

f′(x)＝ex＋2x－1，1分

令g(x)＝ex＋2x－1，由于g′(x)＝ex＋2>0，

故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，

故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.3分

(2)由f(x)≥x3＋1得，

ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0.

①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；5分

②当x>0时，分离参数a得，a≥－，

记g(x)＝－，

g′(x)＝－，7分

令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，

则h′(x)＝ex－x－1，

令φ(x)＝ex－x－1(x≥0)，则φ′(x)＝ex－1≥0，

故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，

故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，

由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，

故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；10分

因此，g(x)max＝g(2)＝，

综上可得，实数a的取值范围.12分

(1)求出f′(x)即得1分；

(2)构造函数g(x)得1分，g′(x)没有分解因式扣1分；

(3)讨论时正确写出参数范围即得1分；

(4)使用分离参数法酌情给分；

(5)计算正确没有最后结论扣1分.