2021届新高考二轮复习 6.4.3　统计与概率问题综合应用 学案

6.4.3　统计与概率问题综合应用
必备知识精要梳理
离散型随机变量的期望与方差
(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望.
(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn叫做随机变量X的方差.
(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).
关键能力学案突破

热点一
离散型随机变量的期望与方差


【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:
X
5%
10%
P
0.8
0.2

Y
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3

(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);
(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?
[注:D(aX+b)=a2D(X)]





解题心得期望与方差的一般计算步骤
(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;
(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.
【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.








热点二
统计数据及概率在现实决策问题中的应用


【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.

根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|≤1为一级品,1<|x-12|≤2为二级品,|x-12|>2为三级品.
(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x∈[12,15]的部件,再从所有尺寸x∈[12,15]的部件中抽取2件,记ξ为这2个部件中尺寸x∈[14,15]的个数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;
(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.










解题心得利用均值和方差进行决策的方法
利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值.当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.
(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.
【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40 80≤X≤120
X>120
发电机最多
可运行台数
1
2
3

若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?











热点三
统计与概率和函数、导数的综合


【例3】(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5 000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明显”,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0 (1)若p=12,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0的值;
(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.








解题心得解决统计与概率和函数、导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决.在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题.
【对点训练3】(2020东北师大附中模拟,20)随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论.在可靠性理论中,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有n(n∈N*,n≥2)种电子元件,每种2个,每个元件的可靠性均为p(0
(1)(ⅰ)分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性P1,P2(用n和p表示);
(ⅱ)比较P1与P2的大小,说明哪种连接方案更稳定可靠;
(2)设n=4,p=45,已知按方案②建立的电路系统可以正常工作,记此时系统中损坏的元件个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.










热点四
统计与概率和数列的综合


【例4】(2020山东青岛二模,22)中国女排,曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为:扎扎实实,勤学苦练,无所畏惧,顽强拼搏,同甘共苦,团结战斗,刻苦钻研,勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用,给予全国人民巨大的鼓舞.
(1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200

若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为1,2,3,4,5…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?
(2)在某次排球训练课上,球恰由A队员控制,此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递,已知每当球由A队员控制时,传给B队员的概率为12,传给C队员的概率为12;每当球由B队员控制时,传给A队员的概率为23,传给C队员的概率为13;每当球由C队员控制时,传给A队员的概率为23,传给B队员的概率为13.记an,bn,cn为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
(ⅰ)若n=3,记B队员控制球的次数为X,求E(X);
(ⅱ)若an=23bn-1+23cn-1,bn=12an-1+13cn-1,cn=12an-1+13bn-1,n≥2,n∈N*.
证明:数列an-25为等比数列,并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与25的大小.
附1:回归方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b^=∑i=1nxiyi-nx·y∑i=1nxi2-nx2=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2;a^=y-b^x.
附2:参考数据:∑i=15xiyi=5 180,∑i=15xi2=12+22+32+42+52=55.











解题心得数列与统计概率的综合题是新高考概率与统计解答题的热点,难度较大.其本质仍然是常规的概率与统计问题,只是在其中穿插了数列问题的应用,实质是考查数列知识在概率情境中的迁移应用能力,一般要转化为等差、等比数列的定义、通项公式或者数列求和问题.
【对点训练4】(2020河北张家口二模,20)某学校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩,得到如图所示的频率分布直方图:

(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值x.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据整个高一年级的数学成绩,可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2),经计算,(1)问中样本标准差s的近似值为10.用样本平均数x作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值,现从高一年级任意抽取一位学生,求他的数学成绩恰好在64分到94分之间的概率.
参考数据:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,
P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 4.
(3)该高一年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为12,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第n(1≤n≤14)格的概率为Pn,试证明{Pn+1-Pn}是等比数列,并求获胜的概率P15的值.



核心素养微专题(七)
统计案例中的数据分析和数学运算素养
【例题】(2020山东师大附中高三月考,22)从2019年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发了一场严重的蝗虫灾害.目前,蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚,并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大,主要危害禾本科植物,能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325


x
y
z
∑i=1n(xi-x)(zi-z)
∑i=1n(xi-x)2
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714

表中zi=ln yi,z=17∑i=17zi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 ℃以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 ℃以上的概率为p(0 ①记该地今后n(n≥3,n∈N*)年中,恰好需要2次人工防治的概率为f(p),求f(p)取得最大值时相应的概率p0;
②根据①中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.
附:对于一组数据(x1,z1)、(x2,z2)、…、(x7,z7),其回归直线z^=a^+b^x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b^=∑i=17(xi-x)(zi-z)∑i=17(xi-x)2,a^=z-b^x.








核心素养分析统计案例主要包括回归分析和独立性检验两类问题,此类题目一般题干较长,以我们身边发生的时事、科技、民生等热点为情境,常与统计图表(频数分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等)结合.在阅读理解题意的过程中,考生需要对条件中以不同形式给出的众多数据进行分析、处理和应用,需要有较好的数据分析核心素养.而求解线性回归方程,或者对事件进行独立性检验的过程中,又对数学运算核心素养作了较好的考查.
【跟踪训练】为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某地2020年6月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表:
时　间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
车流量
x/万辆
1
2
3
4
5
6
7
PM2.5的浓度
y/(微克/立方米)
28
30
35
41
49
56
62


(1)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)①利用(1)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;
②规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)
参考公式:回归直线的方程是y^=b^x+a^,其中b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.











6.4.3　统计与概率问题综合应用
关键能力·学案突破
【例1】解(1)由题知,ξ,η的分布列分别为:
ξ
5
10
P
0.8
0.2

η
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3

所以E(ξ)=5×0.8+10×0.2=6,D(ξ)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4.
E(η)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(η)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差之和为f(x).
则f(x)=Dx100ξ+D200-x100η=x1002D(ξ)+200-x1002D(η)
=4×x1002+12×200-x1002=410000×(4x2-1200x+120000)=(x-150)2+7500625,
可见,当x=150时,f(x)的最小值为12.
所以在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和最小,最小值是12.
对点训练1解(1)由题意,当n∈[0,16)时,利润y=120n-960;当n∈[16,+∞)时,利润y=(120-60)×16=960;综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为
y=120n-960,n∈[0,16),n∈N,960,n∈[16,+∞),n∈N;
(2)①由(1)可得,当n=14时,利润X=120×14-960=720;当n=15时,利润X=120×15-960=840;当n≥16时,利润X=960;所以X的分布列为:
X
720
840
960
P
0.1
0.2
0.7

所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912;
D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6336;
②由题意,设加工17个蛋糕时,当天的利润为Y(单位:元).
当n=14时,利润Y=120×14-60×17=660;当n=15时,利润Y=120×15-60×17=780;当n=16时,利润Y=120×16-60×17=900;当n≥17时,利润Y=60×17=1020;
Y的分布列如下:
Y
660
780
900
1020
P
0.1
0.2
0.16
0.54

则E(Y)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1020×0.54=916.8>912.
从数学期望来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润,应加工17个.
【例2】解(1)抽取的40个部件中,尺寸x∈[12,15]的个数为40×[(0.2+0.175+0.075)×1]=18,
其中x∈[14,15]的个数为40×(0.075×1)=3,
∴ξ的可能取值为0,1,2.
∴P(ξ=0)=C152C182=3551,P(ξ=1)=C151·C31C182=517,P(ξ=2)=C32C182=151,
∴ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
P
3551
517
151

∴E(ξ)=0×3551+1×517+2×151=13.
(2)三级品的概率为(0.1+0.075)×1=0.175,若对剩余部件逐一检验,则厂家共需支付费用50×100=5000(元);若对剩余部件不检验,则厂家需支付费用50×10+200×90×0.175=3650(元),
∵5000>3650,∴不对剩余部件进行逐一检验.
(3)设甲设备生产一个部件的利润为y1,乙设备生产一个部件的利润为y2,则E(y1)=500×(0.3+0.2)+400×(0.150+0.175)+200×0.175=415,E(y2)=500×25+400×12+200×110=420.
∵E(y1) 对点训练2解(1)依题意,p1=P(40120)=550=0.1.
由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p=C40(1-p3)4+C41(1-p3)3p3=9104+4×9103×110=0.9477.
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.
②安装2台发电机的情形.依题意,当40 当X≥80时,2台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:
Y
4200
10000
P
0.2
0.8

所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.
③安装3台发电机的情形.
依题意,当40120时,3台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1

所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
【例3】解(1)当p=12时,一次检验就取得“实验成功”的概率为C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+123=12;
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为[C31p(1-p)2]p2=3×12×14×14=332;
在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0=12+332=1932.
(2)设一次实验方案需要用到的经费为X元,则X的可能取值为900,1500.
P(X=900)=1-C31p(1-p)2;
P(X=1500)=C31p(1-p)2.
所以E(X)=900×[1-C31p(1-p)2]+1500C31p(1-p)2=900+1800p(1-p)2,设f(p)=p(1-p)2,则f'(p)=(1-p)2+2p(p-1)=(3p-1)(p-1),当p∈0,13时,f'(p)>0,所以f(p)在区间0,13上单调递增;当p∈13,1时,f'(p)<0,所以f(p)在区间13,1上单调递减.所以f(p)的最大值为f13=427.
因此实施一次此方案最高费用为900+1800×427=35003(元),所以动物实验阶段估计最高实验费用为100+35003×5000×10-4=100+17503=20503(万元).因为20503<700,所以该动物实验总费用不会超出预算.
对点训练3解(1)(ⅰ)按方案①建立的电路系统的可靠性P1=1-(1-pn)2=pn(2-pn);
按方案②建立的电路系统的可靠性为P2=[1-(1-p)2]n=pn(2-p)n;
(ⅱ)P1-P2=pn[2-pn-(2-p)n].
令f(x)=2-xn-(2-x)n,n∈N*且n≥2,则f'(x)=n[(2-x)n-1-xn-1].
当x∈(0,1)时,(2-x)n-1>1>xn-1,从而f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增;所以当p∈(0,1)时,f(p) 所以P1 (2)在方案②电路系统可以正常工作的条件下,编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏,且有一个损坏的条件概率为C21p(1-p)1-(1-p)2=13,由此可知,X~B4,13.
P(X=0)=234=1681,P(X=1)=C41·13·233=3281,P(X=2)=C42132232=827,
P(X=3)=C43·133·23=881,P(X=4)=134=181.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181

E(X)=4×13=43.
【例4】解(1)由已知可得x=1+2+3+4+55=3,y=640+540+420+300+2005=21005=420,又因为∑i=15xiyi=5180,
∑i=15xi2=12+22+32+42+52=55,
所以b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x2=5180-630055-5×32=-112010=-112.
所以a^=y-b^x=420+112×3=756.所以y^=b^x+a^=-112x+756.当y=-112x+756<10(x∈N*)时,x≥7,
所以可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
(2)(ⅰ)由题知X的可能取值为:0,1,2;P(X=0)=12×23×12=16;
P(X=1)=12×23×12+12×13×23+12×13×23+12×13×13+12×23×12=1118;P(X=2)=12×23×12+12×13×13=29;所以E(X)=0×16+1×1118+2×29=1918;
(ⅱ)由bn=12an-1+13cn-1,cn=12an-1+13bn-1,两式相加,得bn+cn=an-1+13(bn-1+cn-1)(*),因为an=23bn-1+23cn-1,所以bn-1+cn-1=32an,bn+cn=32an+1,代入(*)式,得32an+1=an-1+12an,即an+1=13an+23an-1.所以an+1+23an=an+23an-1=…=a2+23a1,
因为a1=0,a2=12×23+12×23=23,所以an+1+23an=23,所以an+1-25=-23an-25,所以数列an-25是首项为-25,公比为-23的等比数列,所以an-25=-25-23n-1,
即an=251--23n-1.因此经过200次传球后A队员控制球的概率a200=251--23199>25.
对点训练4解(1)x=(0.01×55+0.02×65+0.045×75+0.02×85+0.005×95)×10=74.
(2)∵μ=74,σ=10,∴X~N(74,102).
∵P(μ-σ ∴P(64 (3)小兔子开始在第1格,为必然事件,P1=1,点一下开始按钮,小兔子跳1格即移到第2格的概率为12,即P2=12,小兔子移到第n+1(2≤n≤14)格的情况是下列两种,而且也只有两种情况.①小兔子先跳到第n-1格,又点一下开始按钮跳了2格,其概率为12Pn-1;②小兔子先跳到第n格,又点一下开始按钮跳了1格,其概率为12Pn;因为Pn+1=12Pn-1+12Pn,所以Pn+1-Pn=-12(Pn-Pn-1).
所以当1≤n≤14时,数列{Pn+1-Pn}是以P2-P1=12-1=-12为首项,以-12为公比的等比数列,
所以Pn+1-Pn=(P2-P1)×-12n-1=-12×-12n-1=-12n,Pn+1=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(Pn+1-Pn)=1+-121+-122+…+-12n
=1--12n+11+12=231--12n+1(1≤n≤14).所以获胜的概率P15=231--1215.
核心素养微专题(七)
【例题】解(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程,
对y=cedx两边取自然对数得lny=lnc+dx,令z=lny,a=lnc,b=d,则z=a+bx.
因为b^=∑i=17(xi-x)(zi-z)∑i=17(xi-x)2=40.182147.714≈0.272,a^=z-b^x=3.612-0.272×27.429≈-3.849,
所以z关于x的回归方程为z^=0.272x-3.849.
所以y关于x的回归方程为y^=e0.272x-3.849.
(2)①由f(p)=Cn2·p2·(1-p)n-2,f'(p)=2Cn2·p(1-p)n-2-(n-2)Cn2·p2(1-p)n-3=Cn2·p(1-p)n-3·[2(1-p)-(n-2)p]=Cn2·p(1-p)n-3·(2-np),
∵n≥3且n∈N*,当00;当2n 所以,函数f(p)在区间0,2n上单调递增,在区间2n,1上单调递减.
所以,函数f(p)在p=2n处取得极大值,亦即最大值,∴p0=2n.
②由①可知,当p=2n时,f(p)取最大值,又∵n=6,则p=13,由题意可知X~6,13,∴E(X)=6×13=2,D(X)=6×13×23=43.
跟踪训练解(1)由数据可得x=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,
y=17(28+30+35+41+49+56+62)=43,∑i=17xiyi=1372,∑i=17xi2=140,b^=∑i=17xiyi-7xy∑i=17xi2-7x2=1372-1204140-112=6,a^=y-b^x=43-6×4=19,故y关于x的线性回归方程为y^=6x+19.
(2)①当车流量为8万辆,即x=8时,y^=6×8+19=67.故当车流量为8万辆时,PM2.5的浓度为67微克/立方米.
②根据题意得6x+19≤100,即x≤13.5,故要使该市某日空气质量为优或良,应控制当天车流量在13万辆以内.