核心素养系列（三）数学建模、数学抽象 试卷

核心素养系列（三）数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的期望与方差是高考的一个重要内容，注意观察随机变量的概率分布特征，抽象出合理的概率模型，利用期望与方差公式计算与求解，解决学生这一痛点.类型一　以相互独立事件为背景的期望与方差求以相互独立事件为背景的期望与方差的解题思路：【典例1】（2020·江苏省连云港市锦屏高级中学高三期中） 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲乙丙是否击中目标相互独立.（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望.【素养指导】（1）求出→且与→求乙、丙二人各自击中目标的概率．
（2）写出X的可能取值→求出相应的概率→求出X的分布列→E（X）．【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A、B、C，则，且有即 解得，，所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为，；（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，；，.所以随机变量X的分布列为X012P，所以X的数学期望为.【素养点评】考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力．【素养专练】为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．（1）求且（）的概率；（2）记，求的分布列，并计算数学期望．【解析】（1）当时，即回答个问题后，正确个，错误个. 若回答正确个和第个问题，则其余个问题可任意回答正确个问题；若第一个问题回答正确，第个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确个.故所求概率为：.（2）由可知的取值为.，.故的分布列为：X103050P .类型二　以二项分布为背景的期望与方差求二项分布为背景的期望与方差的解题思路：第一步：根据题意设出随机变量.第二步：分析随机变量服从二项分布.第三步：找到参数n，p.第四步：写出二项分布的概率表达式.第五步：求解相关概率.【典例2】（2020·陕西高三（理））每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．【素养指导】(Ⅰ)先计算人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率；(Ⅱ)确定二项分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为；；；所以随机变量的分布列为：所以的期望【素养点评】二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).【素养专练】 (2020·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.【解析】(1)∵前四组频数成等差数列，∴所对应的也成等差数列，设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w＝2.5＋≈2.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，X～B(3，0.7)，P(X＝0)＝×0.33＝0.027；P(X＝1)＝×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝×0.3×0.72＝0.441；P(X＝3)＝×0.73＝0.343，∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.类型三　以超几何分布为背景的期望与方差求超几何分布件为背景的期望与方差的解题思路：第一步：确定参数N，M，n的值.第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率.第三步：列出分布列.【典例3】（2020·江苏高考模拟）某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为.（1）若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求的概率分布列及数学期望【素养指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；（2）的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.【解析】（1）根据超几何分布可知：；（2）随机变量的可能取值为：；且，分布列如下：【素养点评】考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.【素养专练】（2020·吉林吉化第一高级中学校高三（理））为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.【解析】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值为0,1,2,3，；；；，的分布列为0123.